Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfild Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isfild 20873
 Description: Sufficient condition for a set of the form to be a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfild.1
isfild.2
isfild.3
isfild.4
isfild.5
isfild.6
Assertion
Ref Expression
isfild
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isfild
StepHypRef Expression
1 isfild.1 . . . . 5
2 selpw 3958 . . . . . . 7
32biimpri 210 . . . . . 6
43adantr 467 . . . . 5
51, 4syl6bi 232 . . . 4
65ssrdv 3438 . . 3
7 isfild.4 . . . 4
8 isfild.2 . . . . . 6
91, 8isfildlem 20872 . . . . 5
10 simpr 463 . . . . 5
119, 10syl6bi 232 . . . 4
127, 11mtod 181 . . 3
13 isfild.3 . . . . 5
14 ssid 3451 . . . . 5
1513, 14jctil 540 . . . 4
161, 8isfildlem 20872 . . . 4
1715, 16mpbird 236 . . 3
186, 12, 173jca 1188 . 2
19 elpwi 3960 . . . 4
20 isfild.5 . . . . . . . . . . 11
21 simp2 1009 . . . . . . . . . . 11
2220, 21jctild 546 . . . . . . . . . 10
2322adantld 469 . . . . . . . . 9
241, 8isfildlem 20872 . . . . . . . . . 10
25243ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9
261, 8isfildlem 20872 . . . . . . . . . 10
27263ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9
2823, 25, 273imtr4d 272 . . . . . . . 8
29283expa 1208 . . . . . . 7
3029impancom 442 . . . . . 6
3130rexlimdva 2879 . . . . 5
3231ex 436 . . . 4
3319, 32syl5 33 . . 3
3433ralrimiv 2800 . 2
35 ssinss1 3660 . . . . . . 7
3635ad2antrr 732 . . . . . 6
3736a1i 11 . . . . 5
38 an4 833 . . . . . 6
39 isfild.6 . . . . . . . 8
40393expb 1209 . . . . . . 7
4140expimpd 608 . . . . . 6
4238, 41syl5bi 221 . . . . 5
4337, 42jcad 536 . . . 4
4426, 24anbi12d 717 . . . 4
451, 8isfildlem 20872 . . . 4
4643, 44, 453imtr4d 272 . . 3
4746ralrimivv 2808 . 2
48 isfil2 20871 . 2
4918, 34, 47, 48syl3anbrc 1192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045  wsbc 3267   cin 3403   wss 3404  c0 3731  cpw 3951  cfv 5582  cfil 20860 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-fbas 18967  df-fil 20861 This theorem is referenced by:  snfil  20879  fgcl  20893  filuni  20900  cfinfil  20908  csdfil  20909  supfil  20910  fin1aufil  20947
 Copyright terms: Public domain W3C validator