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Theorem isfil2 20871
Description: Derive the standard axioms of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfil2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, X, y

Proof of Theorem isfil2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 20866 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 0nelfil 20864 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
3 filtop 20870 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
41, 2, 33jca 1188 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_ 
~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F ) )
5 elpwi 3960 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
6 filss 20868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
763exp2 1227 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
87com23 81 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
98imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  F  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
109rexlimdv 2877 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
115, 10sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
1211ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F ) )
13 filin 20869 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  F )
14133expb 1209 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  F
)
1514ralrimivva 2809 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
)
164, 12, 153jca 1188 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
17 simp11 1038 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  C_ 
~P X )
18 simp13 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  X  e.  F )
19 ne0i 3737 . . . . . 6  |-  ( X  e.  F  ->  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  =/=  (/) )
21 simp12 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  F )
22 df-nel 2625 . . . . . 6  |-  ( (/)  e/  F  <->  -.  (/)  e.  F
)
2321, 22sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  (/)  e/  F
)
24 ssid 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
25 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
2625rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  F  /\  ( x  i^i  y
)  C_  ( x  i^i  y ) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
2724, 26mpan2 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2827ralimi 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2928ralimi 2781 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
30293ad2ant3 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
3120, 23, 303jca 1188 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
32 isfbas2 20850 . . . . 5  |-  ( X  e.  F  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3318, 32syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3417, 31, 33mpbir2and 933 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
35 n0 3741 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( F  i^i  ~P x ) )
36 elin 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  <->  ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x ) )
37 elpwi 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P x  -> 
y  C_  x )
3837anim2i 573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
3936, 38sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  ->  (
y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4039eximi 1707 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  y  e.  ( F  i^i  ~P x
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4135, 40sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
42 df-rex 2743 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  x  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4341, 42sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
4443imim1i 60 . . . . 5  |-  ( ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
4544ralimi 2781 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
46453ad2ant2 1030 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
47 isfil 20862 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
4834, 46, 47sylanbrc 670 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
4916, 48impbii 191 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622    e/ wnel 2623   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   ` cfv 5582   fBascfbas 18958   Filcfil 20860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-fbas 18967  df-fil 20861
This theorem is referenced by:  isfild  20873  infil  20878  neifil  20895  trfil2  20902
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