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Theorem isfil2 20120
Description: Derive the standard axioms of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfil2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, X, y

Proof of Theorem isfil2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 20115 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 0nelfil 20113 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
3 filtop 20119 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
41, 2, 33jca 1176 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_ 
~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F ) )
5 elpwi 4019 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
6 filss 20117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
763exp2 1214 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
87com23 78 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
98imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  F  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
109rexlimdv 2953 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
115, 10sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
1211ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F ) )
13 filin 20118 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  F )
14133expb 1197 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  F
)
1514ralrimivva 2885 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
)
164, 12, 153jca 1176 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
17 simp11 1026 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  C_ 
~P X )
18 simp13 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  X  e.  F )
19 ne0i 3791 . . . . . 6  |-  ( X  e.  F  ->  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  =/=  (/) )
21 simp12 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  F )
22 df-nel 2665 . . . . . 6  |-  ( (/)  e/  F  <->  -.  (/)  e.  F
)
2321, 22sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  (/)  e/  F
)
24 ssid 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
25 sseq1 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
2625rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  F  /\  ( x  i^i  y
)  C_  ( x  i^i  y ) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
2724, 26mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2827ralimi 2857 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2928ralimi 2857 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
30293ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
3120, 23, 303jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
32 isfbas2 20099 . . . . 5  |-  ( X  e.  F  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3318, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3417, 31, 33mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
35 n0 3794 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( F  i^i  ~P x ) )
36 elin 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  <->  ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x ) )
37 elpwi 4019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P x  -> 
y  C_  x )
3837anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
3936, 38sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  ->  (
y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4039eximi 1635 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  y  e.  ( F  i^i  ~P x
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4135, 40sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
42 df-rex 2820 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  x  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4341, 42sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
4443imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
4544ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
46453ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
47 isfil 20111 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
4834, 46, 47sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
4916, 48impbii 188 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662    e/ wnel 2663   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   ` cfv 5588   fBascfbas 18205   Filcfil 20109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-fbas 18215  df-fil 20110
This theorem is referenced by:  isfild  20122  infil  20127  neifil  20144  trfil2  20151
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