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Theorem isfil2 20483
Description: Derive the standard axioms of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfil2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, X, y

Proof of Theorem isfil2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 20478 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 0nelfil 20476 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
3 filtop 20482 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
41, 2, 33jca 1176 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_ 
~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F ) )
5 elpwi 4024 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
6 filss 20480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
763exp2 1214 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
87com23 78 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
98imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  F  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
109rexlimdv 2947 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
115, 10sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
1211ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F ) )
13 filin 20481 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  F )
14133expb 1197 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  F
)
1514ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
)
164, 12, 153jca 1176 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
17 simp11 1026 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  C_ 
~P X )
18 simp13 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  X  e.  F )
19 ne0i 3799 . . . . . 6  |-  ( X  e.  F  ->  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  =/=  (/) )
21 simp12 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  F )
22 df-nel 2655 . . . . . 6  |-  ( (/)  e/  F  <->  -.  (/)  e.  F
)
2321, 22sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  (/)  e/  F
)
24 ssid 3518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
25 sseq1 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
2625rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  F  /\  ( x  i^i  y
)  C_  ( x  i^i  y ) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
2724, 26mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2827ralimi 2850 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2928ralimi 2850 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
30293ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
3120, 23, 303jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
32 isfbas2 20462 . . . . 5  |-  ( X  e.  F  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3318, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3417, 31, 33mpbir2and 922 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
35 n0 3803 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( F  i^i  ~P x ) )
36 elin 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  <->  ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x ) )
37 elpwi 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P x  -> 
y  C_  x )
3837anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
3936, 38sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  ->  (
y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4039eximi 1657 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  y  e.  ( F  i^i  ~P x
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4135, 40sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
42 df-rex 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  x  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4341, 42sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
4443imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
4544ralimi 2850 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
46453ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
47 isfil 20474 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
4834, 46, 47sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
4916, 48impbii 188 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652    e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   ` cfv 5594   fBascfbas 18533   Filcfil 20472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-fbas 18543  df-fil 20473
This theorem is referenced by:  isfild  20485  infil  20490  neifil  20507  trfil2  20514
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