Theorem isfil 10266

Description: The predicate "is a filter." (Contributed by FL, 20-Jul-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
isfil.1	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
isfil	|- (F e. A -> (F e. Fil <-> ((-. (/) e. F /\ X e. F) /\ A.xA.y((x e. F /\ y C_ X /\ x C_ y) -> y e. F) /\ A.x e. F A.y e. F (x i^i y) e. F)))

Distinct variable group:   x,F,y

Proof of Theorem isfil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . . 5 |- (f = F -> ((/) e. f <-> (/) e. F))
2	1	notbid 673	. . . 4 |- (f = F -> (-. (/) e. f <-> -. (/) e. F))
3		unieq 3185	. . . . . 6 |- (f = F -> U.f = U.F)
4		isfil.1	. . . . . 6 |- X = U.F
5	3, 4	syl6eqr 1946	. . . . 5 |- (f = F -> U.f = X)
6		id 73	. . . . 5 |- (f = F -> f = F)
7	5, 6	eleq12d 1965	. . . 4 |- (f = F -> (U.f e. f <-> X e. F))
8	2, 7	anbi12d 690	. . 3 |- (f = F -> ((-. (/) e. f /\ U.f e. f) <-> (-. (/) e. F /\ X e. F)))
9		eleq2 1958	. . . . . 6 |- (f = F -> (x e. f <-> x e. F))
10	5	sseq2d 2645	. . . . . 6 |- (f = F -> (y C_ U.f <-> y C_ X))
11	9, 10	3anbi12d 1169	. . . . 5 |- (f = F -> ((x e. f /\ y C_ U.f /\ x C_ y) <-> (x e. F /\ y C_ X /\ x C_ y)))
12		eleq2 1958	. . . . 5 |- (f = F -> (y e. f <-> y e. F))
13	11, 12	imbi12d 688	. . . 4 |- (f = F -> (((x e. f /\ y C_ U.f /\ x C_ y) -> y e. f) <-> ((x e. F /\ y C_ X /\ x C_ y) -> y e. F)))
14	13	2albidv 1658	. . 3 |- (f = F -> (A.xA.y((x e. f /\ y C_ U.f /\ x C_ y) -> y e. f) <-> A.xA.y((x e. F /\ y C_ X /\ x C_ y) -> y e. F)))
15		eleq2 1958	. . . . 5 |- (f = F -> ((x i^i y) e. f <-> (x i^i y) e. F))
16	15	raleqbi1dv 2271	. . . 4 |- (f = F -> (A.y e. f (x i^i y) e. f <-> A.y e. F (x i^i y) e. F))
17	16	raleqbi1dv 2271	. . 3 |- (f = F -> (A.x e. f A.y e. f (x i^i y) e. f <-> A.x e. F A.y e. F (x i^i y) e. F))
18	8, 14, 17	3anbi123d 1168	. 2 |- (f = F -> (((-. (/) e. f /\ U.f e. f) /\ A.xA.y((x e. f /\ y C_ U.f /\ x C_ y) -> y e. f) /\ A.x e. f A.y e. f (x i^i y) e. f) <-> ((-. (/) e. F /\ X e. F) /\ A.xA.y((x e. F /\ y C_ X /\ x C_ y) -> y e. F) /\ A.x e. F A.y e. F (x i^i y) e. F)))
19		df-fil 10265	. 2 |- Fil = {f | ((-. (/) e. f /\ U.f e. f) /\ A.xA.y((x e. f /\ y C_ U.f /\ x C_ y) -> y e. f) /\ A.x e. f A.y e. f (x i^i y) e. f)}
20	18, 19	elab2g 2406	1 |- (F e. A -> (F e. Fil <-> ((-. (/) e. F /\ X e. F) /\ A.xA.y((x e. F /\ y C_ X /\ x C_ y) -> y e. F) /\ A.x e. F A.y e. F (x i^i y) e. F)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  filusb 10267  filesn 10268  filint 10269  fillsb 10270  fipfil2 10272  filintf 10274  oefil2 10275  fgfil 10290  neifil 10302  fgsb 14921  filint2 14923  fgsb2 14925  rcfpfil 14934  supfil 15560  filssufillem 15570  ufinffr 15578  ufilen 15579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-uni 3178  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain