Theorem isfi 5441

Description: Express "A is finite." Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose "Fin " is a predicate instead of a class).

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- (A e. Fin <-> E.x e. om A ~~ x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem isfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 5430	. . 3 |- Fin = {y | E.x e. om y ~~ x}
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. Fin <-> A e. {y | E.x e. om y ~~ x})
3		relen 5431	. . . . . 6 |- Rel ~~
4	3	brrelexi 4029	. . . . 5 |- (A ~~ x -> A e. _V)
5	4	a1i 8	. . . 4 |- (x e. om -> (A ~~ x -> A e. _V))
6	5	r19.23aiv 2211	. . 3 |- (E.x e. om A ~~ x -> A e. _V)
7		breq1 3341	. . . 4 |- (y = A -> (y ~~ x <-> A ~~ x))
8	7	rexbidv 2124	. . 3 |- (y = A -> (E.x e. om y ~~ x <-> E.x e. om A ~~ x))
9	6, 8	elab3 2412	. 2 |- (A e. {y | E.x e. om y ~~ x} <-> E.x e. om A ~~ x)
10	2, 9	bitri 190	1 |- (A e. Fin <-> E.x e. om A ~~ x)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  omcom 3949   ~~ cen 5423  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  snfi 5491  ac6sfi 5509  php3 5609  onfin 5613  finsucdom 5620  ominf 5622  omsdomnn 5623  isfinite1 5624  enfi 5627  ssnnfi 5629  ssfi 5630  unfi 5644  unifi 5648  fiint 5650  fodomfi 5656  pwfi 5661  ficardom 5979  dif1en 10172  ficard 10176  dif1card 10177  findcard 10178  fbssint 10279  finminlem 15367  finsschain 15373  fcluscomplem 15620  findcard2 15745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-en 5427  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain