Theorem isfcls 19482

Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fclsval.x	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isfcls	|- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   F, s   X, s   J, s

Proof of Theorem isfcls

Dummy variables f j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 644	. 2 |- ( ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
2		fvssunirn 5710	. . . . . . . 8 |- ( Fil ` X ) C_ U. ran Fil
3	2	sseli 3349	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. U. ran Fil )
4		filunibas 19354	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
5	4	eqcomd 2446	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X = U. F )
6	3, 5	jca 529	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) )
7		filunirn 19355	. . . . . . 7 |- ( F e. U. ran Fil <-> F e. ( Fil ` U. F ) )
8		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( X = U. F -> ( Fil ` X ) = ( Fil ` U. F ) )
9	8	eleq2d 2508	. . . . . . . 8 |- ( X = U. F -> ( F e. ( Fil ` X ) <-> F e. ( Fil ` U. F ) ) )
10	9	biimparc 484	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ X = U. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
11	7, 10	sylanb 469	. . . . . 6 |- ( ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12	6, 11	impbii 188	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) )
13	12	anbi2i 689	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) <-> ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) )
14	13	anbi1i 690	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
15		df-3an 962	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
16		anass 644	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) <-> ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) )
17	16	anbi1i 690	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
18	14, 15, 17	3bitr4i 277	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
19		df-fcls 19414	. . . 4 |- fClus = ( j e. Top , f e. U. ran Fil |-> if ( U. j = U. f , |^|_ x e. f ( ( cls ` j ) ` x ) , (/) ) )
20	19	elmpt2cl 6303	. . 3 |- ( A e. ( J fClus F ) -> ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) )
21		fclsval.x	. . . . . . 7 |- X = U. J
22	21	fclsval 19481	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. F ) ) -> ( J fClus F ) = if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) )
23	7, 22	sylan2b 472	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( J fClus F ) = if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) )
24	23	eleq2d 2508	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) )
25		n0i 3639	. . . . . . 7 |- ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> -. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = (/) )
26		iffalse 3796	. . . . . . 7 |- ( -. X = U. F -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = (/) )
27	25, 26	nsyl2 127	. . . . . 6 |- ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> X = U. F )
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> X = U. F ) )
29	28	pm4.71rd 630	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> ( X = U. F /\ A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) ) )
30		iftrue 3794	. . . . . . . 8 |- ( X = U. F -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) )
31	30	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) )
32	31	eleq2d 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
33		elex 2979	. . . . . . . 8 |- ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V )
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) )
35		filn0 19335	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> F =/= (/) )
36	7, 35	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. U. ran Fil -> F =/= (/) )
37	36	ad2antlr 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> F =/= (/) )
38		r19.2z 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F =/= (/) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) )
39	38	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( F =/= (/) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
40	37, 39	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
41		elex 2979	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V )
42	41	rexlimivw 2835	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V )
43	40, 42	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) )
44		eliin 4173	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. _V -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
46	34, 43, 45	pm5.21ndd 354	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
47	32, 46	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
48	47	pm5.32da 636	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( ( X = U. F /\ A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) <-> ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
49	24, 29, 48	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
50	20, 49	biadan2 637	. 2 |- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
51	1, 18, 50	3bitr4ri 278	1 |- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   ifcif 3788   U.cuni 4088   |^|_ciin 4169   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Topctop 18398   clsccl 18522   Filcfil 19318   fClus cfcls 19409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-fbas 17714  df-fil 19319  df-fcls 19414

This theorem is referenced by:  fclsfil  19483  fclstop  19484  isfcls2  19486  fclssscls  19491  flimfcls  19499