Theorem isfcls 20378

Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fclsval.x	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isfcls	|- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   F, s   X, s   J, s

Proof of Theorem isfcls

Dummy variables f j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 649	. 2 |- ( ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
2		fvssunirn 5895	. . . . . . . 8 |- ( Fil ` X ) C_ U. ran Fil
3	2	sseli 3505	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. U. ran Fil )
4		filunibas 20250	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
5	4	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X = U. F )
6	3, 5	jca 532	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) )
7		filunirn 20251	. . . . . . 7 |- ( F e. U. ran Fil <-> F e. ( Fil ` U. F ) )
8		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( X = U. F -> ( Fil ` X ) = ( Fil ` U. F ) )
9	8	eleq2d 2537	. . . . . . . 8 |- ( X = U. F -> ( F e. ( Fil ` X ) <-> F e. ( Fil ` U. F ) ) )
10	9	biimparc 487	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ X = U. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
11	7, 10	sylanb 472	. . . . . 6 |- ( ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12	6, 11	impbii 188	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) )
13	12	anbi2i 694	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) <-> ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) )
14	13	anbi1i 695	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
15		df-3an 975	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
16		anass 649	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) <-> ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) )
17	16	anbi1i 695	. . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
18	14, 15, 17	3bitr4i 277	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
19		df-fcls 20310	. . . 4 |- fClus = ( j e. Top , f e. U. ran Fil |-> if ( U. j = U. f , |^|_ x e. f ( ( cls ` j ) ` x ) , (/) ) )
20	19	elmpt2cl 6512	. . 3 |- ( A e. ( J fClus F ) -> ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) )
21		fclsval.x	. . . . . . 7 |- X = U. J
22	21	fclsval 20377	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. F ) ) -> ( J fClus F ) = if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) )
23	7, 22	sylan2b 475	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( J fClus F ) = if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) )
24	23	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) )
25		n0i 3795	. . . . . . 7 |- ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> -. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = (/) )
26		iffalse 3954	. . . . . . 7 |- ( -. X = U. F -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = (/) )
27	25, 26	nsyl2 127	. . . . . 6 |- ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> X = U. F )
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> X = U. F ) )
29	28	pm4.71rd 635	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> ( X = U. F /\ A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) ) )
30		iftrue 3951	. . . . . . . 8 |- ( X = U. F -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) )
32	31	eleq2d 2537	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
33		elex 3127	. . . . . . . 8 |- ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V )
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) )
35		filn0 20231	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> F =/= (/) )
36	7, 35	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. U. ran Fil -> F =/= (/) )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> F =/= (/) )
38		r19.2z 3923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F =/= (/) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) )
39	38	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( F =/= (/) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
40	37, 39	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
41		elex 3127	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V )
42	41	rexlimivw 2956	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V )
43	40, 42	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) )
44		eliin 4337	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. _V -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
46	34, 43, 45	pm5.21ndd 354	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
47	32, 46	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
48	47	pm5.32da 641	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( ( X = U. F /\ A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) <-> ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
49	24, 29, 48	3bitrd 279	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
50	20, 49	biadan2 642	. 2 |- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
51	1, 18, 50	3bitr4ri 278	1 |- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   ifcif 3945   U.cuni 4251   |^|_ciin 4332   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Topctop 19263   clsccl 19387   Filcfil 20214   fClus cfcls 20305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-fbas 18286  df-fil 20215  df-fcls 20310

This theorem is referenced by:  fclsfil  20379  fclstop  20380  isfcls2  20382  fclssscls  20387  flimfcls  20395