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Theorem isfcls 20380
Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsval.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isfcls  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    X, s    J, s

Proof of Theorem isfcls
Dummy variables  f 
j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 649 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
2 fvssunirn 5876 . . . . . . . 8  |-  ( Fil `  X )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3483 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  U.
ran  Fil )
4 filunibas 20252 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
54eqcomd 2449 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. F )
63, 5jca 532 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
7 filunirn 20253 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  <->  F  e.  ( Fil `  U. F ) )
8 fveq2 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. F  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. F ) )
98eleq2d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. F ) ) )
109biimparc 487 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
117, 10sylanb 472 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  U. ran  Fil 
/\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
126, 11impbii 188 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e. 
U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
1312anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1413anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
15 df-3an 974 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
16 anass 649 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1716anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
1814, 15, 173bitr4i 277 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
19 df-fcls 20312 . . . 4  |-  fClus  =  ( j  e.  Top , 
f  e.  U. ran  Fil  |->  if ( U. j  =  U. f ,  |^|_ x  e.  f  ( ( cls `  j ) `
 x ) ,  (/) ) )
2019elmpt2cl 6499 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  Top  /\  F  e. 
U. ran  Fil )
)
21 fclsval.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
2221fclsval 20379 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. F ) )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
237, 22sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
2423eleq2d 2511 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) )
25 n0i 3773 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  -.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  =  (/) )
26 iffalse 3932 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =  U. F  ->  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  =  (/) )
2725, 26nsyl2 127 . . . . . 6  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F )
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F ) )
2928pm4.71rd 635 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) ) )
30 iftrue 3929 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3130adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3231eleq2d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
33 elex 3102 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
35 filn0 20233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  =/=  (/) )
367, 35sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  ->  F  =/=  (/) )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  F  =/=  (/) )
38 r19.2z 3901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3938ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
41 elex 3102 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s
)  ->  A  e.  _V )
4241rexlimivw 2930 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
4340, 42syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
44 eliin 4318 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
)  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4634, 43, 45pm5.21ndd 354 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4732, 46bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4847pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4924, 29, 483bitrd 279 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
5020, 49biadan2 642 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
511, 18, 503bitr4ri 278 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   (/)c0 3768   ifcif 3923   U.cuni 4231   |^|_ciin 4313   ran crn 4987   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   Topctop 19264   clsccl 19389   Filcfil 20216    fClus cfcls 20307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-fbas 18287  df-fil 20217  df-fcls 20312
This theorem is referenced by:  fclsfil  20381  fclstop  20382  isfcls2  20384  fclssscls  20389  flimfcls  20397
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