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Theorem isfcls 20966
Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsval.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isfcls  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    X, s    J, s

Proof of Theorem isfcls
Dummy variables  f 
j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 653 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
2 fvssunirn 5848 . . . . . . . 8  |-  ( Fil `  X )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3403 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  U.
ran  Fil )
4 filunibas 20838 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
54eqcomd 2434 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. F )
63, 5jca 534 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
7 filunirn 20839 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  <->  F  e.  ( Fil `  U. F ) )
8 fveq2 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. F  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. F ) )
98eleq2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. F ) ) )
109biimparc 489 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
117, 10sylanb 474 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  U. ran  Fil 
/\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
126, 11impbii 190 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e. 
U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
1312anbi2i 698 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1413anbi1i 699 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
15 df-3an 984 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
16 anass 653 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1716anbi1i 699 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
1814, 15, 173bitr4i 280 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
19 df-fcls 20898 . . . 4  |-  fClus  =  ( j  e.  Top , 
f  e.  U. ran  Fil  |->  if ( U. j  =  U. f ,  |^|_ x  e.  f  ( ( cls `  j ) `
 x ) ,  (/) ) )
2019elmpt2cl 6469 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  Top  /\  F  e. 
U. ran  Fil )
)
21 fclsval.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
2221fclsval 20965 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. F ) )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
237, 22sylan2b 477 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
2423eleq2d 2491 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) )
25 n0i 3709 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  -.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  =  (/) )
26 iffalse 3863 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =  U. F  ->  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  =  (/) )
2725, 26nsyl2 130 . . . . . 6  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F )
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F ) )
2928pm4.71rd 639 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) ) )
30 iftrue 3860 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3130adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3231eleq2d 2491 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
33 elex 3031 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
35 filn0 20819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  =/=  (/) )
367, 35sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  ->  F  =/=  (/) )
3736ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  F  =/=  (/) )
38 r19.2z 3831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3938ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
41 elex 3031 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s
)  ->  A  e.  _V )
4241rexlimivw 2853 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
4340, 42syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
44 eliin 4248 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
)  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4634, 43, 45pm5.21ndd 355 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4732, 46bitrd 256 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4847pm5.32da 645 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4924, 29, 483bitrd 282 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
5020, 49biadan2 646 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
511, 18, 503bitr4ri 281 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022   (/)c0 3704   ifcif 3854   U.cuni 4162   |^|_ciin 4243   ran crn 4797   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Topctop 19859   clsccl 19975   Filcfil 20802    fClus cfcls 20893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-fbas 18910  df-fil 20803  df-fcls 20898
This theorem is referenced by:  fclsfil  20967  fclstop  20968  isfcls2  20970  fclssscls  20975  flimfcls  20983
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