Theorem isfcf 19566

Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfcf	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, J   o, L, s   o, F, s   o, X, s   o, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem isfcf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcfval 19565	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( J fClusf L ) ` F ) = ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) )
2	1	eleq2d 2508	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) )
3		simp1 983	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4		toponmax 18492	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
5		filfbas 19380	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
6		id 22	. . . 4 |- ( F : Y --> X -> F : Y --> X )
7		fmfil 19476	. . . 4 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1255	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
9		fclsopn 19546	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 656	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
11		simpll1 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> J e. (TopOn ` X ) )
12	11, 4	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> X e. J )
13		simpll2 1023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
14	13, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
15		simpll3 1024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> F : Y --> X )
16		simpl2 987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
17		fgfil 19407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> ( Y filGen L ) = L )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( Y filGen L ) = L )
19	18	eleq2d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( s e. ( Y filGen L ) <-> s e. L ) )
20	19	biimpar 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> s e. ( Y filGen L ) )
21		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( Y filGen L ) = ( Y filGen L )
22	21	imaelfm 19483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. ( Y filGen L ) ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
23	12, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
24		ineq2 3543	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F " s ) -> ( o i^i x ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
25	24	neeq1d 2619	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F " s ) -> ( ( o i^i x ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
26	25	rspcv 3066	. . . . . . . 8 |- ( ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
27	23, 26	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
28	27	ralrimdva 2804	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
29		elfm 19479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
30	4, 5, 6, 29	syl3an 1255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
31	30	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
32	31	simplbda 621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ x )
33		r19.29r 2856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
34		sslin 3573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " s ) C_ x -> ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) )
35		ssn0 3667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
36	34, 35	sylan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
37	36	rexlimivw 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
38	33, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
39	38	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. L ( F " s ) C_ x -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
40	32, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
41	40	ralrimdva 2804	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) )
42	28, 41	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
43	42	imbi2d 316	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
44	43	ralbidva 2729	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
45	44	anbi2d 698	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
46	2, 10, 45	3bitrd 279	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   fBascfbas 17763   filGencfg 17764  TopOnctopon 18458   Filcfil 19377   FilMap cfm 19465   fClus cfcls 19468   fClusf cfcf 19469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-topon 18465  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-fil 19378  df-fm 19470  df-fcls 19473  df-fcf 19474

This theorem is referenced by:  fcfnei  19567