Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfcf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isfcf 21042
 Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isfcf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 21041 . . 3 TopOn
21eleq2d 2513 . 2 TopOn
3 simp1 1007 . . 3 TopOn TopOn
4 toponmax 19936 . . . 4 TopOn
5 filfbas 20856 . . . 4
6 id 22 . . . 4
7 fmfil 20952 . . . 4
84, 5, 6, 7syl3an 1309 . . 3 TopOn
9 fclsopn 21022 . . 3 TopOn
103, 8, 9syl2anc 666 . 2 TopOn
11 simpll1 1046 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
1211, 4syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
13 simpll2 1047 . . . . . . . . . 10 TopOn
1413, 5syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
15 simpll3 1048 . . . . . . . . 9 TopOn
16 simpl2 1011 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
17 fgfil 20883 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1918eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10 TopOn
2019biimpar 488 . . . . . . . . 9 TopOn
21 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
2221imaelfm 20959 . . . . . . . . 9
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1270 . . . . . . . 8 TopOn
24 ineq2 3627 . . . . . . . . . 10
2524neeq1d 2682 . . . . . . . . 9
2625rspcv 3145 . . . . . . . 8
2723, 26syl 17 . . . . . . 7 TopOn
2827ralrimdva 2805 . . . . . 6 TopOn
29 elfm 20955 . . . . . . . . . . 11
304, 5, 6, 29syl3an 1309 . . . . . . . . . 10 TopOn
3130adantr 467 . . . . . . . . 9 TopOn
3231simplbda 629 . . . . . . . 8 TopOn
33 r19.29r 2925 . . . . . . . . . 10
34 sslin 3657 . . . . . . . . . . . 12
35 ssn0 3766 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35sylan 474 . . . . . . . . . . 11
3736rexlimivw 2875 . . . . . . . . . 10
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9
3938ex 436 . . . . . . . 8
4032, 39syl 17 . . . . . . 7 TopOn
4140ralrimdva 2805 . . . . . 6 TopOn
4228, 41impbid 194 . . . . 5 TopOn
4342imbi2d 318 . . . 4 TopOn
4443ralbidva 2823 . . 3 TopOn
4544anbi2d 709 . 2 TopOn
462, 10, 453bitrd 283 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737   cin 3402   wss 3403  c0 3730  cima 4836  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cfbas 18951  cfg 18952  TopOnctopon 19911  cfil 20853   cfm 20941   cfcls 20944   cfcf 20945 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-map 7471  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-fil 20854  df-fm 20946  df-fcls 20949  df-fcf 20950 This theorem is referenced by:  fcfnei  21043
 Copyright terms: Public domain W3C validator