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Theorem isfcf 21042
Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, J    o, L, s    o, F, s    o, X, s    o, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem isfcf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 21041 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fClusf  L ) `
 F )  =  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )
21eleq2d 2513 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3 simp1 1007 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 toponmax 19936 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 filfbas 20856 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
6 id 22 . . . 4  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y --> X )
7 fmfil 20952 . . . 4  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
84, 5, 6, 7syl3an 1309 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
9 fclsopn 21022 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
103, 8, 9syl2anc 666 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
11 simpll1 1046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1211, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  X  e.  J )
13 simpll2 1047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
1413, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
15 simpll3 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  F : Y --> X )
16 simpl2 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
17 fgfil 20883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen L )  =  L )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( Y filGen L )  =  L )
1918eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
s  e.  ( Y
filGen L )  <->  s  e.  L ) )
2019biimpar 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  s  e.  ( Y filGen L ) )
21 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y
filGen L )  =  ( Y filGen L )
2221imaelfm 20959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen L ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) )
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )
24 ineq2 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F "
s )  ->  (
o  i^i  x )  =  ( o  i^i  ( F " s
) ) )
2524neeq1d 2682 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F "
s )  ->  (
( o  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2625rspcv 3145 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " s )  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
)  ->  ( A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2723, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2827ralrimdva 2805 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
29 elfm 20955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
304, 5, 6, 29syl3an 1309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
3130adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
3231simplbda 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
)
33 r19.29r 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  /\  A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  E. s  e.  L  ( ( F " s )  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
34 sslin 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " s ) 
C_  x  ->  (
o  i^i  ( F " s ) )  C_  ( o  i^i  x
) )
35 ssn0 3766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  i^i  ( F " s ) ) 
C_  ( o  i^i  x )  /\  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) )
3634, 35sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " s
)  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  x )  =/=  (/) )
3736rexlimivw 2875 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. s  e.  L  ( ( F " s
)  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  x )  =/=  (/) )
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  /\  A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) )
3938ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  ->  ( A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4032, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  ->  ( A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4140ralrimdva 2805 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
4228, 41impbid 194 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
4342imbi2d 318 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
4443ralbidva 2823 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
4544anbi2d 709 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
462, 10, 453bitrd 283 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   "cima 4836   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   fBascfbas 18951   filGencfg 18952  TopOnctopon 19911   Filcfil 20853    FilMap cfm 20941    fClus cfcls 20944    fClusf cfcf 20945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-map 7471  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-fil 20854  df-fm 20946  df-fcls 20949  df-fcf 20950
This theorem is referenced by:  fcfnei  21043
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