Theorem isfcf 20827

Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfcf	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, J   o, L, s   o, F, s   o, X, s   o, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem isfcf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcfval 20826	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( J fClusf L ) ` F ) = ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) )
2	1	eleq2d 2472	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) )
3		simp1 997	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4		toponmax 19721	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
5		filfbas 20641	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
6		id 22	. . . 4 |- ( F : Y --> X -> F : Y --> X )
7		fmfil 20737	. . . 4 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1272	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
9		fclsopn 20807	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 659	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
11		simpll1 1036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> J e. (TopOn ` X ) )
12	11, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> X e. J )
13		simpll2 1037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
14	13, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
15		simpll3 1038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> F : Y --> X )
16		simpl2 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
17		fgfil 20668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> ( Y filGen L ) = L )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( Y filGen L ) = L )
19	18	eleq2d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( s e. ( Y filGen L ) <-> s e. L ) )
20	19	biimpar 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> s e. ( Y filGen L ) )
21		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( Y filGen L ) = ( Y filGen L )
22	21	imaelfm 20744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. ( Y filGen L ) ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
23	12, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
24		ineq2 3635	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F " s ) -> ( o i^i x ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
25	24	neeq1d 2680	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F " s ) -> ( ( o i^i x ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
26	25	rspcv 3156	. . . . . . . 8 |- ( ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
27	23, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
28	27	ralrimdva 2822	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
29		elfm 20740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
30	4, 5, 6, 29	syl3an 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
31	30	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
32	31	simplbda 622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ x )
33		r19.29r 2943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
34		sslin 3665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " s ) C_ x -> ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) )
35		ssn0 3772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
36	34, 35	sylan 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
37	36	rexlimivw 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
39	38	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. L ( F " s ) C_ x -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
40	32, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
41	40	ralrimdva 2822	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) )
42	28, 41	impbid 190	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
43	42	imbi2d 314	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
44	43	ralbidva 2840	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
45	44	anbi2d 702	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
46	2, 10, 45	3bitrd 279	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   i^i cin 3413   C_ wss 3414   (/)c0 3738   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   fBascfbas 18726   filGencfg 18727  TopOnctopon 19687   Filcfil 20638   FilMap cfm 20726   fClus cfcls 20729   fClusf cfcf 20730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-fil 20639  df-fm 20731  df-fcls 20734  df-fcf 20735

This theorem is referenced by:  fcfnei  20828