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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > isfcf | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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isfcf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fcfval 21041 |
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2 | 1 | eleq2d 2513 |
. 2
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3 | simp1 1007 |
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4 | toponmax 19936 |
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5 | filfbas 20856 |
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6 | id 22 |
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7 | fmfil 20952 |
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8 | 4, 5, 6, 7 | syl3an 1309 |
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9 | fclsopn 21022 |
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10 | 3, 8, 9 | syl2anc 666 |
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11 | simpll1 1046 |
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12 | 11, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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13 | simpll2 1047 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13, 5 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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15 | simpll3 1048 |
. . . . . . . . 9
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16 | simpl2 1011 |
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17 | fgfil 20883 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | eleq2d 2513 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | biimpar 488 |
. . . . . . . . 9
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21 | eqid 2450 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | imaelfm 20959 |
. . . . . . . . 9
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23 | 12, 14, 15, 20, 22 | syl31anc 1270 |
. . . . . . . 8
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24 | ineq2 3627 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | neeq1d 2682 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | rspcv 3145 |
. . . . . . . 8
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27 | 23, 26 | syl 17 |
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28 | 27 | ralrimdva 2805 |
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29 | elfm 20955 |
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30 | 4, 5, 6, 29 | syl3an 1309 |
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31 | 30 | adantr 467 |
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32 | 31 | simplbda 629 |
. . . . . . . 8
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33 | r19.29r 2925 |
. . . . . . . . . 10
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34 | sslin 3657 |
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35 | ssn0 3766 |
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36 | 34, 35 | sylan 474 |
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37 | 36 | rexlimivw 2875 |
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38 | 33, 37 | syl 17 |
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39 | 38 | ex 436 |
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40 | 32, 39 | syl 17 |
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41 | 40 | ralrimdva 2805 |
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42 | 28, 41 | impbid 194 |
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43 | 42 | imbi2d 318 |
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44 | 43 | ralbidva 2823 |
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45 | 44 | anbi2d 709 |
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46 | 2, 10, 45 | 3bitrd 283 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-iin 4280 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-id 4748 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-map 7471 df-fbas 18960 df-fg 18961 df-top 19914 df-topon 19916 df-cld 20027 df-ntr 20028 df-cls 20029 df-fil 20854 df-fm 20946 df-fcls 20949 df-fcf 20950 |
This theorem is referenced by: fcfnei 21043 |
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