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Theorem isfcf 20827
Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, J    o, L, s    o, F, s    o, X, s    o, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem isfcf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 20826 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fClusf  L ) `
 F )  =  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )
21eleq2d 2472 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3 simp1 997 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 toponmax 19721 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 filfbas 20641 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
6 id 22 . . . 4  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y --> X )
7 fmfil 20737 . . . 4  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
84, 5, 6, 7syl3an 1272 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
9 fclsopn 20807 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
103, 8, 9syl2anc 659 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
11 simpll1 1036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1211, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  X  e.  J )
13 simpll2 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
1413, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
15 simpll3 1038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  F : Y --> X )
16 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
17 fgfil 20668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen L )  =  L )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( Y filGen L )  =  L )
1918eleq2d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
s  e.  ( Y
filGen L )  <->  s  e.  L ) )
2019biimpar 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  s  e.  ( Y filGen L ) )
21 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y
filGen L )  =  ( Y filGen L )
2221imaelfm 20744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen L ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) )
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )
24 ineq2 3635 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F "
s )  ->  (
o  i^i  x )  =  ( o  i^i  ( F " s
) ) )
2524neeq1d 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F "
s )  ->  (
( o  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2625rspcv 3156 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " s )  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
)  ->  ( A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2723, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2827ralrimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
29 elfm 20740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
304, 5, 6, 29syl3an 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
3130adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
3231simplbda 622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
)
33 r19.29r 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  /\  A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  E. s  e.  L  ( ( F " s )  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
34 sslin 3665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " s ) 
C_  x  ->  (
o  i^i  ( F " s ) )  C_  ( o  i^i  x
) )
35 ssn0 3772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  i^i  ( F " s ) ) 
C_  ( o  i^i  x )  /\  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) )
3634, 35sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " s
)  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  x )  =/=  (/) )
3736rexlimivw 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. s  e.  L  ( ( F " s
)  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  x )  =/=  (/) )
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  /\  A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) )
3938ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  ->  ( A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4032, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  ->  ( A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4140ralrimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
4228, 41impbid 190 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
4342imbi2d 314 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
4443ralbidva 2840 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
4544anbi2d 702 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
462, 10, 453bitrd 279 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   fBascfbas 18726   filGencfg 18727  TopOnctopon 19687   Filcfil 20638    FilMap cfm 20726    fClus cfcls 20729    fClusf cfcf 20730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-fil 20639  df-fm 20731  df-fcls 20734  df-fcf 20735
This theorem is referenced by:  fcfnei  20828
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