Theorem isfcf 21042

Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfcf	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, J   o, L, s   o, F, s   o, X, s   o, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem isfcf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcfval 21041	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( J fClusf L ) ` F ) = ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) )
2	1	eleq2d 2513	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) )
3		simp1 1007	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4		toponmax 19936	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
5		filfbas 20856	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
6		id 22	. . . 4 |- ( F : Y --> X -> F : Y --> X )
7		fmfil 20952	. . . 4 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1309	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
9		fclsopn 21022	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 666	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
11		simpll1 1046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> J e. (TopOn ` X ) )
12	11, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> X e. J )
13		simpll2 1047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
14	13, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
15		simpll3 1048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> F : Y --> X )
16		simpl2 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
17		fgfil 20883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> ( Y filGen L ) = L )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( Y filGen L ) = L )
19	18	eleq2d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( s e. ( Y filGen L ) <-> s e. L ) )
20	19	biimpar 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> s e. ( Y filGen L ) )
21		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( Y filGen L ) = ( Y filGen L )
22	21	imaelfm 20959	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. ( Y filGen L ) ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
23	12, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
24		ineq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F " s ) -> ( o i^i x ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
25	24	neeq1d 2682	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F " s ) -> ( ( o i^i x ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
26	25	rspcv 3145	. . . . . . . 8 |- ( ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
27	23, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
28	27	ralrimdva 2805	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
29		elfm 20955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
30	4, 5, 6, 29	syl3an 1309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
31	30	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
32	31	simplbda 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ x )
33		r19.29r 2925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
34		sslin 3657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " s ) C_ x -> ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) )
35		ssn0 3766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
36	34, 35	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
37	36	rexlimivw 2875	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
39	38	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. L ( F " s ) C_ x -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
40	32, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
41	40	ralrimdva 2805	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) )
42	28, 41	impbid 194	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
43	42	imbi2d 318	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
44	43	ralbidva 2823	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
45	44	anbi2d 709	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
46	2, 10, 45	3bitrd 283	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   "cima 4836   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   fBascfbas 18951   filGencfg 18952  TopOnctopon 19911   Filcfil 20853   FilMap cfm 20941   fClus cfcls 20944   fClusf cfcf 20945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-map 7471  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-fil 20854  df-fm 20946  df-fcls 20949  df-fcf 20950

This theorem is referenced by:  fcfnei  21043