MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas2 Structured version   Unicode version

Theorem isfbas2 20421
Description: The predicate " F is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas2  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isfbas2
StepHypRef Expression
1 isfbas 20415 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) ) ) ) )
2 elin 3601 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( z  e.  F  /\  z  e.  ~P ( x  i^i  y ) ) )
3 selpw 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  z  C_  ( x  i^i  y
) )
43anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  F  /\  z  e.  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
52, 4bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
65exbii 1675 . . . . . 6  |-  ( E. z  z  e.  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  E. z ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
7 n0 3721 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
8 df-rex 2738 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  F  z 
C_  ( x  i^i  y )  <->  E. z
( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
96, 7, 83bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
1092ralbii 2814 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
11103anbi3i 1187 . . 3  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) )  <->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1211anbi2i 692 . 2  |-  ( ( F  C_  ~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) ) )  <-> 
( F  C_  ~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
131, 12syl6bb 261 1  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577    e/ wnel 2578   A.wral 2732   E.wrex 2733    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   ` cfv 5496   fBascfbas 18519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-fbas 18529
This theorem is referenced by:  fbasssin  20422  fbun  20426  opnfbas  20428  isfil2  20442  fsubbas  20453  fbasrn  20470  rnelfmlem  20538  metustfbasOLD  21153  metustfbas  21154  tailfb  30361
  Copyright terms: Public domain W3C validator