Theorem isf34lem6 8749

Description: Lemma for isfin3-4 8751. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	|- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )

Assertion

Ref	Expression
isf34lem6	|- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, F, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   F( x)   V( f)

Proof of Theorem isf34lem6

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7430	. . . 4 |- ( f e. ( ~P A ^m om ) -> f : om --> ~P A )
2		compss.a	. . . . . 6 |- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )
3	2	isf34lem7 8748	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A /\ A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) ) -> U. ran f e. ran f )
4	3	3expia 1193	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
5	1, 4	sylan2 474	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ f e. ( ~P A ^m om ) ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
6	5	ralrimiva 2871	. 2 |- ( A e. FinIII -> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
7		elmapex 7429	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) )
8	7	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ~P A e. _V )
9		pwexb 6582	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V <-> ~P A e. _V )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> A e. _V )
11	2	isf34lem2 8742	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> F : ~P A --> ~P A )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F : ~P A --> ~P A )
13		elmapi 7430	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> g : om --> ~P A )
14		fco 5732	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ~P A --> ~P A /\ g : om --> ~P A ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
16		elmapg 7423	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
17	7, 16	syl 16	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
18	15, 17	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) )
19		fveq1 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` y ) = ( ( F o. g ) ` y ) )
20		fveq1 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` suc y ) = ( ( F o. g ) ` suc y ) )
21	19, 20	sseq12d 3526	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
22	21	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
23		rneq 5219	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ran ( F o. g ) )
24		rnco2 5505	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( F o. g ) = ( F " ran g )
25	23, 24	syl6eq 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ( F " ran g ) )
26	25	unieqd 4248	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> U. ran f = U. ( F " ran g ) )
27	26, 25	eleq12d 2542	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( U. ran f e. ran f <-> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) )
28	22, 27	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) <-> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
29	28	rspccv 3204	. . . . . 6 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
30	18, 29	syl5 32	. . . . 5 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
31		sscon 3631	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) )
32	10	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> A e. _V )
33	13	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) e. ~P A )
34	33	elpwid 4013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) C_ A )
35	2	isf34lem1 8741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
37		peano2 6691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> suc y e. om )
38		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
39	13, 37, 38	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
40	39	elpwid 4013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) C_ A )
41	2	isf34lem1 8741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` suc y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
42	32, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
43	36, 42	sseq12d 3526	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) <-> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) ) )
44	31, 43	syl5ibr 221	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
45		fvco3 5935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
46	13, 45	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
47		fvco3 5935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
48	13, 37, 47	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
49	46, 48	sseq12d 3526	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) <-> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
50	44, 49	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
51	50	ralimdva 2865	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
52		ffn 5722	. . . . . . . . 9 |- ( F : ~P A --> ~P A -> F Fn ~P A )
53	12, 52	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F Fn ~P A )
54		imassrn 5339	. . . . . . . . 9 |- ( F " ran g ) C_ ran F
55		frn 5728	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ~P A --> ~P A -> ran F C_ ~P A )
56	12, 55	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran F C_ ~P A )
57	54, 56	syl5ss 3508	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) C_ ~P A )
58		fnfvima 6129	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A /\ U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) )
59	58	3expia 1193	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
60	53, 57, 59	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
61		incom 3684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom F i^i ran g ) = ( ran g i^i dom F )
62		frn 5728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : om --> ~P A -> ran g C_ ~P A )
63	13, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ ~P A )
64		fdm 5726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : ~P A --> ~P A -> dom F = ~P A )
65	12, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom F = ~P A )
66	63, 65	sseqtr4d 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ dom F )
67		df-ss 3483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran g C_ dom F <-> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
69	61, 68	syl5eq 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) = ran g )
70		fdm 5726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : om --> ~P A -> dom g = om )
71	13, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g = om )
72		peano1 6690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (/) e. om
73		ne0i 3784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. om -> om =/= (/) )
74	72, 73	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> om =/= (/) )
75	71, 74	eqnetrd 2753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g =/= (/) )
76		dm0rn0 5210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom g = (/) <-> ran g = (/) )
77	76	necon3bii 2728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom g =/= (/) <-> ran g =/= (/) )
78	75, 77	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g =/= (/) )
79	69, 78	eqnetrd 2753	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
80		imadisj 5347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " ran g ) = (/) <-> ( dom F i^i ran g ) = (/) )
81	80	necon3bii 2728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ran g ) =/= (/) <-> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
82	79, 81	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) =/= (/) )
83	2	isf34lem4 8746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( ( F " ran g ) C_ ~P A /\ ( F " ran g ) =/= (/) ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
84	10, 57, 82, 83	syl12anc 1221	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
85	2	isf34lem3 8744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ran g C_ ~P A ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
86	10, 63, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
87	86	inteqd 4280	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> |^| ( F " ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
88	84, 87	eqtrd 2501	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
89	88, 86	eleq12d 2542	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) <-> |^| ran g e. ran g ) )
90	60, 89	sylibd 214	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> |^| ran g e. ran g ) )
91	51, 90	imim12d 74	. . . . 5 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
92	30, 91	sylcom 29	. . . 4 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
93	92	ralrimiv 2869	. . 3 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) )
94		isfin3-3 8737	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
95	93, 94	syl5ibr 221	. 2 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A e. FinIII ) )
96	6, 95	impbid2 204	1 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   i^i cin 3468   C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   |^|cint 4275   |-> cmpt 4498   suc csuc 4873   dom cdm 4992   ran crn 4993   "cima 4995   o. ccom 4996   Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   omcom 6671   ^m cmap 7410  Fin^IIIcfin3 8650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-rpss 6555  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-seqom 7103  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-wdom 7974  df-card 8309  df-fin4 8656  df-fin3 8657

This theorem is referenced by:  isfin3-4  8751