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Theorem isf34lem6 8673
Description: Lemma for isfin3-4 8675. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    f, F, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x)    V( f)

Proof of Theorem isf34lem6
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7359 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  f : om --> ~P A )
2 compss.a . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
32isf34lem7 8672 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  f : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  (
f `  y )  C_  ( f `  suc  y ) )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )
433expia 1196 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  f : om
--> ~P A )  -> 
( A. y  e. 
om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) )
51, 4sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  f  e.  ( ~P A  ^m  om ) )  ->  ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f ) )
65ralrimiva 2796 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) )
7 elmapex 7358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( ~P A  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )
)
87simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ~P A  e.  _V )
9 pwexb 6510 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
108, 9sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  A  e.  _V )
112isf34lem2 8666 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  F : ~P A --> ~P A
)
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  F : ~P A --> ~P A
)
13 elmapi 7359 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  g : om --> ~P A )
14 fco 5649 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ~P A --> ~P A  /\  g : om --> ~P A )  ->  ( F  o.  g ) : om --> ~P A )
1512, 13, 14syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F  o.  g ) : om --> ~P A )
16 elmapg 7351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( ~P A  ^m  om ) 
<->  ( F  o.  g
) : om --> ~P A
) )
177, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  ( ~P A  ^m  om )  <->  ( F  o.  g ) : om --> ~P A
) )
1815, 17mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( ~P A  ^m  om ) )
19 fveq1 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  y )  =  ( ( F  o.  g ) `  y ) )
20 fveq1 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  suc  y )  =  ( ( F  o.  g ) `  suc  y ) )
2119, 20sseq12d 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  <->  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y ) ) )
2221ralbidv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  <->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y ) ) )
23 rneq 5141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ran  f  =  ran  ( F  o.  g ) )
24 rnco2 5422 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( F  o.  g )  =  ( F " ran  g )
2523, 24syl6eq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ran  f  =  ( F " ran  g ) )
2625unieqd 4173 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  U. ran  f  =  U. ( F " ran  g ) )
2726, 25eleq12d 2464 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ( U. ran  f  e.  ran  f 
<-> 
U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) ) )
2822, 27imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( A. y  e. 
om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f )  <->  ( A. y  e.  om  (
( F  o.  g
) `  y )  C_  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g ) ) ) )
2928rspccv 3132 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) ) ) )
3018, 29syl5 32 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  (
g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) ) ) )
31 sscon 3552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  suc  y
)  C_  ( g `  y )  ->  ( A  \  ( g `  y ) )  C_  ( A  \  (
g `  suc  y ) ) )
3210adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  _V )
3313ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  y )  e.  ~P A )
3433elpwid 3937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  y )  C_  A
)
352isf34lem1 8665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( g `  y
)  C_  A )  ->  ( F `  (
g `  y )
)  =  ( A 
\  ( g `  y ) ) )
3632, 34, 35syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( g `  y
) )  =  ( A  \  ( g `
 y ) ) )
37 peano2 6619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
38 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( g `  suc  y )  e.  ~P A )
3913, 37, 38syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  suc  y )  e.  ~P A )
4039elpwid 3937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  suc  y )  C_  A
)
412isf34lem1 8665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( g `  suc  y )  C_  A
)  ->  ( F `  ( g `  suc  y ) )  =  ( A  \  (
g `  suc  y ) ) )
4232, 40, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( g `  suc  y ) )  =  ( A  \  (
g `  suc  y ) ) )
4336, 42sseq12d 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F `
 ( g `  y ) )  C_  ( F `  ( g `
 suc  y )
)  <->  ( A  \ 
( g `  y
) )  C_  ( A  \  ( g `  suc  y ) ) ) )
4431, 43syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( g `
 suc  y )  C_  ( g `  y
)  ->  ( F `  ( g `  y
) )  C_  ( F `  ( g `  suc  y ) ) ) )
45 fvco3 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : om --> ~P A  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  y )  =  ( F `  ( g `
 y ) ) )
4613, 45sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  y )  =  ( F `  ( g `
 y ) ) )
47 fvco3 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  =  ( F `  ( g `
 suc  y )
) )
4813, 37, 47syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  =  ( F `  ( g `
 suc  y )
) )
4946, 48sseq12d 3446 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( F  o.  g ) `
 y )  C_  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  <->  ( F `  ( g `  y
) )  C_  ( F `  ( g `  suc  y ) ) ) )
5044, 49sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( g `
 suc  y )  C_  ( g `  y
)  ->  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y ) ) )
5150ralimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  g ) `  y
)  C_  ( ( F  o.  g ) `  suc  y ) ) )
52 ffn 5639 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  F  Fn  ~P A
)
5312, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  F  Fn  ~P A )
54 imassrn 5260 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ran  g )  C_ 
ran  F
55 frn 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  ran  F  C_  ~P A )
5612, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  F 
C_  ~P A )
5754, 56syl5ss 3428 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F " ran  g ) 
C_  ~P A )
58 fnfvima 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  ( F " ran  g )  C_  ~P A  /\  U. ( F
" ran  g )  e.  ( F " ran  g ) )  -> 
( F `  U. ( F " ran  g
) )  e.  ( F " ( F
" ran  g )
) )
59583expia 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  ( F " ran  g )  C_  ~P A )  ->  ( U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
)  ->  ( F `  U. ( F " ran  g ) )  e.  ( F " ( F " ran  g ) ) ) )
6053, 57, 59syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
)  ->  ( F `  U. ( F " ran  g ) )  e.  ( F " ( F " ran  g ) ) ) )
61 incom 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  i^i  ran  g )  =  ( ran  g  i^i  dom  F )
62 frn 5645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : om --> ~P A  ->  ran  g  C_  ~P A )
6313, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  g  C_  ~P A )
64 fdm 5643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  dom  F  =  ~P A )
6512, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  dom  F  =  ~P A )
6663, 65sseqtr4d 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  g  C_  dom  F )
67 df-ss 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  g  C_  dom  F  <->  ( ran  g  i^i  dom  F )  =  ran  g )
6866, 67sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( ran  g  i^i  dom  F
)  =  ran  g
)
6961, 68syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( dom  F  i^i  ran  g
)  =  ran  g
)
70 fdm 5643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : om --> ~P A  ->  dom  g  =  om )
7113, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  dom  g  =  om )
72 peano1 6618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  e.  om
73 ne0i 3717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
7472, 73mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  om  =/=  (/) )
7571, 74eqnetrd 2675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  dom  g  =/=  (/) )
76 dm0rn0 5132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  g  =  (/)  <->  ran  g  =  (/) )
7776necon3bii 2650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  g  =/=  (/)  <->  ran  g  =/=  (/) )
7875, 77sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  g  =/=  (/) )
7969, 78eqnetrd 2675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( dom  F  i^i  ran  g
)  =/=  (/) )
80 imadisj 5268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " ran  g
)  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  g )  =  (/) )
8180necon3bii 2650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ran  g
)  =/=  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  g )  =/=  (/) )
8279, 81sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F " ran  g )  =/=  (/) )
832isf34lem4 8670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( ( F " ran  g )  C_  ~P A  /\  ( F " ran  g )  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. ( F " ran  g ) )  = 
|^| ( F "
( F " ran  g ) ) )
8410, 57, 82, 83syl12anc 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F `  U. ( F
" ran  g )
)  =  |^| ( F " ( F " ran  g ) ) )
852isf34lem3 8668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ran  g  C_  ~P A
)  ->  ( F " ( F " ran  g ) )  =  ran  g )
8610, 63, 85syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F " ( F " ran  g ) )  =  ran  g )
8786inteqd 4204 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  |^| ( F " ( F " ran  g ) )  = 
|^| ran  g )
8884, 87eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F `  U. ( F
" ran  g )
)  =  |^| ran  g )
8988, 86eleq12d 2464 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  (
( F `  U. ( F " ran  g
) )  e.  ( F " ( F
" ran  g )
)  <->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) )
9060, 89sylibd 214 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
)  ->  |^| ran  g  e.  ran  g ) )
9151, 90imim12d 74 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  (
( A. y  e. 
om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) )  ->  ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) ) )
9230, 91sylcom 29 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  (
g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) ) )
9392ralrimiv 2794 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  A. g  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) )
94 isfin3-3 8661 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. g  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) ) )
9593, 94syl5ibr 221 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om )
( A. y  e. 
om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f )  ->  A  e. FinIII ) )
966, 95impbid2 204 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   |^|cint 4199    |-> cmpt 4425   suc csuc 4794   dom cdm 4913   ran crn 4914   "cima 4916    o. ccom 4917    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   omcom 6599    ^m cmap 7338  FinIIIcfin3 8574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-rpss 6479  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-seqom 7031  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-wdom 7900  df-card 8233  df-fin4 8580  df-fin3 8581
This theorem is referenced by:  isfin3-4  8675
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