Theorem isf34lem6 8552

Description: Lemma for isfin3-4 8554. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	|- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )

Assertion

Ref	Expression
isf34lem6	|- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, F, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   F( x)   V( f)

Proof of Theorem isf34lem6

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7237	. . . 4 |- ( f e. ( ~P A ^m om ) -> f : om --> ~P A )
2		compss.a	. . . . . 6 |- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )
3	2	isf34lem7 8551	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A /\ A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) ) -> U. ran f e. ran f )
4	3	3expia 1189	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
5	1, 4	sylan2 474	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ f e. ( ~P A ^m om ) ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
6	5	ralrimiva 2802	. 2 |- ( A e. FinIII -> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
7		elmapex 7236	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) )
8	7	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ~P A e. _V )
9		pwexb 6390	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V <-> ~P A e. _V )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> A e. _V )
11	2	isf34lem2 8545	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> F : ~P A --> ~P A )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F : ~P A --> ~P A )
13		elmapi 7237	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> g : om --> ~P A )
14		fco 5571	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ~P A --> ~P A /\ g : om --> ~P A ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
16		elmapg 7230	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
17	7, 16	syl 16	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
18	15, 17	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) )
19		fveq1 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` y ) = ( ( F o. g ) ` y ) )
20		fveq1 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` suc y ) = ( ( F o. g ) ` suc y ) )
21	19, 20	sseq12d 3388	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
22	21	ralbidv 2738	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
23		rneq 5068	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ran ( F o. g ) )
24		rnco2 5348	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( F o. g ) = ( F " ran g )
25	23, 24	syl6eq 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ( F " ran g ) )
26	25	unieqd 4104	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> U. ran f = U. ( F " ran g ) )
27	26, 25	eleq12d 2511	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( U. ran f e. ran f <-> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) )
28	22, 27	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) <-> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
29	28	rspccv 3073	. . . . . 6 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
30	18, 29	syl5 32	. . . . 5 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
31		sscon 3493	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) )
32	10	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> A e. _V )
33	13	ffvelrnda 5846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) e. ~P A )
34	33	elpwid 3873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) C_ A )
35	2	isf34lem1 8544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
37		peano2 6499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> suc y e. om )
38		ffvelrn 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
39	13, 37, 38	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
40	39	elpwid 3873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) C_ A )
41	2	isf34lem1 8544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` suc y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
42	32, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
43	36, 42	sseq12d 3388	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) <-> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) ) )
44	31, 43	syl5ibr 221	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
45		fvco3 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
46	13, 45	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
47		fvco3 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
48	13, 37, 47	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
49	46, 48	sseq12d 3388	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) <-> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
50	44, 49	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
51	50	ralimdva 2797	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
52		ffn 5562	. . . . . . . . 9 |- ( F : ~P A --> ~P A -> F Fn ~P A )
53	12, 52	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F Fn ~P A )
54		imassrn 5183	. . . . . . . . 9 |- ( F " ran g ) C_ ran F
55		frn 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ~P A --> ~P A -> ran F C_ ~P A )
56	12, 55	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran F C_ ~P A )
57	54, 56	syl5ss 3370	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) C_ ~P A )
58		fnfvima 5958	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A /\ U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) )
59	58	3expia 1189	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
60	53, 57, 59	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
61		incom 3546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom F i^i ran g ) = ( ran g i^i dom F )
62		frn 5568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : om --> ~P A -> ran g C_ ~P A )
63	13, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ ~P A )
64		fdm 5566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : ~P A --> ~P A -> dom F = ~P A )
65	12, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom F = ~P A )
66	63, 65	sseqtr4d 3396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ dom F )
67		df-ss 3345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran g C_ dom F <-> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
69	61, 68	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) = ran g )
70		fdm 5566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : om --> ~P A -> dom g = om )
71	13, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g = om )
72		peano1 6498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (/) e. om
73		ne0i 3646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. om -> om =/= (/) )
74	72, 73	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> om =/= (/) )
75	71, 74	eqnetrd 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g =/= (/) )
76		dm0rn0 5059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom g = (/) <-> ran g = (/) )
77	76	necon3bii 2643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom g =/= (/) <-> ran g =/= (/) )
78	75, 77	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g =/= (/) )
79	69, 78	eqnetrd 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
80		imadisj 5191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " ran g ) = (/) <-> ( dom F i^i ran g ) = (/) )
81	80	necon3bii 2643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ran g ) =/= (/) <-> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
82	79, 81	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) =/= (/) )
83	2	isf34lem4 8549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( ( F " ran g ) C_ ~P A /\ ( F " ran g ) =/= (/) ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
84	10, 57, 82, 83	syl12anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
85	2	isf34lem3 8547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ran g C_ ~P A ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
86	10, 63, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
87	86	inteqd 4136	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> |^| ( F " ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
88	84, 87	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
89	88, 86	eleq12d 2511	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) <-> |^| ran g e. ran g ) )
90	60, 89	sylibd 214	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> |^| ran g e. ran g ) )
91	51, 90	imim12d 74	. . . . 5 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
92	30, 91	sylcom 29	. . . 4 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
93	92	ralrimiv 2801	. . 3 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) )
94		isfin3-3 8540	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
95	93, 94	syl5ibr 221	. 2 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A e. FinIII ) )
96	6, 95	impbid2 204	1 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2609   A.wral 2718   _Vcvv 2975   \ cdif 3328   i^i cin 3330   C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   U.cuni 4094   |^|cint 4131   e. cmpt 4353   suc csuc 4724   dom cdm 4843   ran crn 4844   "cima 4846   o. ccom 4847   Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   omcom 6479   ^m cmap 7217  Fin^IIIcfin3 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-rpss 6363  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-seqom 6906  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-wdom 7777  df-card 8112  df-fin4 8459  df-fin3 8460

This theorem is referenced by:  isfin3-4  8554