Theorem isf34lem6 8841

Description: Lemma for isfin3-4 8843. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	|- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )

Assertion

Ref	Expression
isf34lem6	|- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, F, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   F( x)   V( f)

Proof of Theorem isf34lem6

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7524	. . . 4 |- ( f e. ( ~P A ^m om ) -> f : om --> ~P A )
2		compss.a	. . . . . 6 |- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )
3	2	isf34lem7 8840	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A /\ A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) ) -> U. ran f e. ran f )
4	3	3expia 1217	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
5	1, 4	sylan2 481	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ f e. ( ~P A ^m om ) ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
6	5	ralrimiva 2814	. 2 |- ( A e. FinIII -> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
7		elmapex 7523	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) )
8	7	simpld 465	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ~P A e. _V )
9		pwexb 6634	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V <-> ~P A e. _V )
10	8, 9	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> A e. _V )
11	2	isf34lem2 8834	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> F : ~P A --> ~P A )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F : ~P A --> ~P A )
13		elmapi 7524	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> g : om --> ~P A )
14		fco 5766	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ~P A --> ~P A /\ g : om --> ~P A ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
15	12, 13, 14	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
16		elmapg 7516	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
17	7, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
18	15, 17	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) )
19		fveq1 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` y ) = ( ( F o. g ) ` y ) )
20		fveq1 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` suc y ) = ( ( F o. g ) ` suc y ) )
21	19, 20	sseq12d 3473	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
22	21	ralbidv 2839	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
23		rneq 5082	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ran ( F o. g ) )
24		rnco2 5365	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( F o. g ) = ( F " ran g )
25	23, 24	syl6eq 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ( F " ran g ) )
26	25	unieqd 4222	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> U. ran f = U. ( F " ran g ) )
27	26, 25	eleq12d 2534	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( U. ran f e. ran f <-> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) )
28	22, 27	imbi12d 326	. . . . . . 7 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) <-> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
29	28	rspccv 3159	. . . . . 6 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
30	18, 29	syl5 33	. . . . 5 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
31		sscon 3579	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) )
32	10	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> A e. _V )
33	13	ffvelrnda 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) e. ~P A )
34	33	elpwid 3973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) C_ A )
35	2	isf34lem1 8833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
37		peano2 6745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> suc y e. om )
38		ffvelrn 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
39	13, 37, 38	syl2an 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
40	39	elpwid 3973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) C_ A )
41	2	isf34lem1 8833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` suc y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
42	32, 40, 41	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
43	36, 42	sseq12d 3473	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) <-> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) ) )
44	31, 43	syl5ibr 229	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
45		fvco3 5970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
46	13, 45	sylan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
47		fvco3 5970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
48	13, 37, 47	syl2an 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
49	46, 48	sseq12d 3473	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) <-> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
50	44, 49	sylibrd 242	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
51	50	ralimdva 2808	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
52		ffn 5755	. . . . . . . . 9 |- ( F : ~P A --> ~P A -> F Fn ~P A )
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F Fn ~P A )
54		imassrn 5201	. . . . . . . . 9 |- ( F " ran g ) C_ ran F
55		frn 5762	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ~P A --> ~P A -> ran F C_ ~P A )
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran F C_ ~P A )
57	54, 56	syl5ss 3455	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) C_ ~P A )
58		fnfvima 6173	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A /\ U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) )
59	58	3expia 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
60	53, 57, 59	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
61		incom 3637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom F i^i ran g ) = ( ran g i^i dom F )
62		frn 5762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : om --> ~P A -> ran g C_ ~P A )
63	13, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ ~P A )
64		fdm 5760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : ~P A --> ~P A -> dom F = ~P A )
65	12, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom F = ~P A )
66	63, 65	sseqtr4d 3481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ dom F )
67		df-ss 3430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran g C_ dom F <-> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
68	66, 67	sylib 201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
69	61, 68	syl5eq 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) = ran g )
70		fdm 5760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : om --> ~P A -> dom g = om )
71	13, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g = om )
72		peano1 6744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (/) e. om
73		ne0i 3749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. om -> om =/= (/) )
74	72, 73	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> om =/= (/) )
75	71, 74	eqnetrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g =/= (/) )
76		dm0rn0 5073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom g = (/) <-> ran g = (/) )
77	76	necon3bii 2688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom g =/= (/) <-> ran g =/= (/) )
78	75, 77	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g =/= (/) )
79	69, 78	eqnetrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
80		imadisj 5209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " ran g ) = (/) <-> ( dom F i^i ran g ) = (/) )
81	80	necon3bii 2688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ran g ) =/= (/) <-> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
82	79, 81	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) =/= (/) )
83	2	isf34lem4 8838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( ( F " ran g ) C_ ~P A /\ ( F " ran g ) =/= (/) ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
84	10, 57, 82, 83	syl12anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
85	2	isf34lem3 8836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ran g C_ ~P A ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
86	10, 63, 85	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
87	86	inteqd 4253	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> |^| ( F " ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
88	84, 87	eqtrd 2496	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
89	88, 86	eleq12d 2534	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) <-> |^| ran g e. ran g ) )
90	60, 89	sylibd 222	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> |^| ran g e. ran g ) )
91	51, 90	imim12d 77	. . . . 5 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
92	30, 91	sylcom 30	. . . 4 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
93	92	ralrimiv 2812	. . 3 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) )
94		isfin3-3 8829	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
95	93, 94	syl5ibr 229	. 2 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A e. FinIII ) )
96	6, 95	impbid2 209	1 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   |^|cint 4248   |-> cmpt 4477   dom cdm 4856   ran crn 4857   "cima 4859   o. ccom 4860   suc csuc 5448   Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   omcom 6724   ^m cmap 7503  Fin^IIIcfin3 8742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-rpss 6603  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-seqom 7196  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-wdom 8105  df-card 8404  df-fin4 8748  df-fin3 8749

This theorem is referenced by:  isfin3-4  8843