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Theorem isf34lem4 8753
Description: Lemma for isfin3-4 8758. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    X( x)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 4326 . . . . 5  |-  ( X 
C_  ~P A  <->  U. X  C_  A )
2 compss.a . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
32isf34lem1 8748 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. X  C_  A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
41, 3sylan2b 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
54adantrr 721 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
6 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  -.  b  e.  U. X )
7 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  b  e.  A
)
87ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  A )
9 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  a )
108, 9eldifd 3385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A 
\  a ) )
11 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  ( A  \  a
)  e.  X )
12 elunii 4162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( A 
\  a )  /\  ( A  \  a
)  e.  X )  ->  b  e.  U. X )
1310, 11, 12syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  U. X
)
1413ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  ( -.  b  e.  a  ->  b  e.  U. X
) )
156, 14mt3d 128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  b  e.  a )
1615expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  a  e.  ~P A
)  ->  ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1716ralrimiva 2774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1817ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
19 n0 3709 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  X )
20 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  X  C_  ~P A )
2120sselda 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  ~P A )
2221elpwid 3929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  C_  A )
23 dfss4 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  =  c )
2422, 23sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  =  c )
25 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  X )
2624, 25eqeltrd 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  e.  X )
27 difss 3530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
\  c )  C_  A
28 elpw2g 4525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  c
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  c ) 
C_  A ) )
2927, 28mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
3029ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
31 difeq2 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( A  \  a )  =  ( A  \  ( A  \  c ) ) )
3231eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( A  \  a
)  e.  X  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
) )
33 eleq2 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
b  e.  a  <->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
3432, 33imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <-> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
3534rspcv 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  \  c )  e.  ~P A  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3630, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3726, 36mpid 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
38 eldifi 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( A  \ 
c )  ->  b  e.  A )
3937, 38syl6 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
4039ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( c  e.  X  ->  ( A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A
) ) )
4140exlimdv 1772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( E. c 
c  e.  X  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4219, 41syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4342impr 623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
44 eluni 4160 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U. X  <->  E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
) )
4529ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  c
)  e.  ~P A
)
4626adantlrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  c  e.  X
)  ->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
)
4746adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X )
48 elndif 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  c  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
4948ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
5047, 49jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) ) )
51 annim 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) )  <->  -.  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
5250, 51sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) )
5334notbid 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
5453rspcev 3120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  c
)  e.  ~P A  /\  -.  ( ( A 
\  ( A  \ 
c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5545, 52, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
56 rexnal 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5755, 56sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5857ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  c  /\  c  e.  X )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
5958exlimdv 1772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
)  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6044, 59syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e. 
U. X  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6160con2d 118 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  U. X ) )
6243, 61jcad 535 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X
) ) )
6318, 62impbid 193 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
64 eldif 3384 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )
65 vex 3020 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
6665elintrab 4205 . . . . 5  |-  ( b  e.  |^| { a  e. 
~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
6763, 64, 663bitr4g 291 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  b  e.  |^|
{ a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X } ) )
6867eqrdv 2421 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A  \  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
695, 68eqtrd 2457 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
702compss 8752 . . 3  |-  ( F
" X )  =  { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7170inteqi 4197 . 2  |-  |^| ( F " X )  = 
|^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7269, 71syl6eqr 2475 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713    \ cdif 3371    C_ wss 3374   (/)c0 3699   ~Pcpw 3919   U.cuni 4157   |^|cint 4193    |-> cmpt 4420   "cima 4794   ` cfv 5539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pr 4598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fv 5547
This theorem is referenced by:  isf34lem5  8754  isf34lem6  8756
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