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Theorem isf32lem9 8789
Description: Lemma for isfin3-2 8795. Construction of the onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem9  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem9
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.g . . . 4  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
2 ssab2 3551 . . . . . . 7  |-  { s  |  ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) }  C_  om
3 iotacl 5588 . . . . . . 7  |-  ( E! s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  {
s  |  ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) ) } )
42, 3sseldi 3468 . . . . . 6  |-  ( E! s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
5 iotanul 5580 . . . . . . 7  |-  ( -.  E! s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  =  (/) )
6 peano1 6726 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
75, 6syl6eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( -.  E! s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
84, 7pm2.61i 167 . . . . 5  |-  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om
98a1i 11 . . . 4  |-  ( t  e.  G  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
101, 9fmpti 6060 . . 3  |-  L : G
--> om
1110a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
12 isf32lem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
13 isf32lem.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
14 isf32lem.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
15 isf32lem.d . . . . . 6  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
16 isf32lem.e . . . . . 6  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
17 isf32lem.f . . . . . 6  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
1812, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem6 8786 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( K `  a )  =/=  (/) )
19 n0 3777 . . . . 5  |-  ( ( K `  a )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( K `  a
) )
2018, 19sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b 
b  e.  ( K `
 a ) )
2112, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem8 8788 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( K `  a )  C_  G
)
2221sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  b  e.  G )
23 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  (
t  e.  ( K `
 s )  <->  b  e.  ( K `  s ) ) )
2423anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  b  ->  (
( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
2524iotabidv 5586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  b  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  =  ( iota s ( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
26 iotaex 5582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  _V
2725, 1, 26fvmpt3i 5969 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  G  ->  ( L `  b )  =  ( iota s
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
2822, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  ( L `  b )  =  ( iota s
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
29 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  b  e.  ( K `  a
) )
30 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  ph )
31 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  s  =/=  a )
3231necomd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  a  =/=  s )
33 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  a  e.  om )
34 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  s  e.  om )
3512, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem7 8787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  =/=  s )  /\  (
a  e.  om  /\  s  e.  om )
)  ->  ( ( K `  a )  i^i  ( K `  s
) )  =  (/) )
3630, 32, 33, 34, 35syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  (
( K `  a
)  i^i  ( K `  s ) )  =  (/) )
37 disj1 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K `  a
)  i^i  ( K `  s ) )  =  (/) 
<-> 
A. b ( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) )
3836, 37sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  A. b
( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) )
3938ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( s  =/=  a  ->  A. b
( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
40 sp 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b ( b  e.  ( K `  a
)  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) )  ->  (
b  e.  ( K `
 a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s )
) )
4139, 40syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( s  =/=  a  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
4241com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  ( s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
43423adant1r 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
b  e.  ( K `
 a )  -> 
( s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
4429, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s )
) )
4544necon4ad 2651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
b  e.  ( K `
 s )  -> 
s  =  a ) )
46453expia 1207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
s  e.  om  ->  ( b  e.  ( K `
 s )  -> 
s  =  a ) ) )
4746impd 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  ->  s  =  a ) )
48 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  a  ->  (
s  e.  om  <->  a  e.  om ) )
49 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  a  ->  ( K `  s )  =  ( K `  a ) )
5049eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  a  ->  (
b  e.  ( K `
 s )  <->  b  e.  ( K `  a ) ) )
5148, 50anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  a  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
( a  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 a ) ) ) )
5251biimprcd 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  ( K `  a ) )  -> 
( s  =  a  ->  ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
5352ancoms 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( K `
 a )  /\  a  e.  om )  ->  ( s  =  a  ->  ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
5453adantll 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
s  =  a  -> 
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
5547, 54impbid 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
s  =  a ) )
5655iota5 5585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) )  =  a )
5756an32s 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) )  =  a )
5828, 57eqtr2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  a  =  ( L `  b ) )
5922, 58jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  (
b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) )
6059ex 435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  ( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) ) )
6160eximdv 1757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( E. b  b  e.  ( K `  a )  ->  E. b ( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) ) )
62 df-rex 2788 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  G  a  =  ( L `  b )  <->  E. b
( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b )
) )
6361, 62syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( E. b  b  e.  ( K `  a )  ->  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) ) )
6420, 63mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) )
6564ralrimiva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) )
66 dffo3 6052 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  <->  ( L : G --> om  /\  A. a  e.  om  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) ) )
6711, 65, 66sylanbrc 668 1  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   E!weu 2266   {cab 2414    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442    C. wpss 3443   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   |^|cint 4258   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855    o. ccom 4858   suc csuc 5444   iotacio 5563   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601   iota_crio 6266   omcom 6706    ~~ cen 7574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372
This theorem is referenced by:  isf32lem10  8790
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