MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem8 Structured version   Unicode version

Theorem isf32lem8 8644
Description: Lemma for isfin3-2 8651. K sets are subsets of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
Assertion
Ref Expression
isf32lem8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( K `  A )  C_  G
)
Distinct variable groups:    x, w    v, u, w, x, y,
ph    w, A, x, y   
w, F, x, y   
u, S, v, w, x, y    w, J, x, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( v, u)    F( v, u)    G( x, y, w, v, u)    J( v, u)    K( w, v, u)

Proof of Theorem isf32lem8
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
21fveq1i 5803 . . 3  |-  ( K `
 A )  =  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )
3 isf32lem.d . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
4 ssrab2 3548 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
53, 4eqsstri 3497 . . . . . . 7  |-  S  C_  om
6 isf32lem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
7 isf32lem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
8 isf32lem.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
96, 7, 8, 3isf32lem5 8641 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
10 isf32lem.e . . . . . . . 8  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
1110fin23lem22 8611 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  J : om -1-1-onto-> S )
125, 9, 11sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J : om -1-1-onto-> S )
13 f1of 5752 . . . . . 6  |-  ( J : om -1-1-onto-> S  ->  J : om
--> S )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J : om --> S )
15 fvco3 5880 . . . . 5  |-  ( ( J : om --> S  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
) )
1614, 15sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  A ) ) )
1714ffvelrnda 5955 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( J `  A )  e.  S
)
18 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( J `  A ) ) )
19 suceq 4895 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  suc  w  =  suc  ( J `
 A ) )
2019fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )
2118, 20difeq12d 3586 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  (
( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
22 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  =  ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )
23 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( J `  A ) )  e. 
_V
24 difexg 4551 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) )  e.  _V  ->  (
( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) )  e.  _V )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )  e. 
_V
2621, 22, 25fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( ( J `  A )  e.  S  ->  (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
)  =  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
w  e.  S  |->  ( ( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `
 A ) )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
2816, 27eqtrd 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  A )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
292, 28syl5eq 2507 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( K `  A )  =  ( ( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
306adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  F : om
--> ~P G )
315, 17sseldi 3465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( J `  A )  e.  om )
3230, 31ffvelrnd 5956 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( F `  ( J `  A
) )  e.  ~P G )
3332elpwid 3981 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( F `  ( J `  A
) )  C_  G
)
3433ssdifssd 3605 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( F `  ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) )  C_  G
)
3529, 34eqsstrd 3501 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( K `  A )  C_  G
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    i^i cin 3438    C_ wss 3439    C. wpss 3440   ~Pcpw 3971   |^|cint 4239   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   suc csuc 4832   ran crn 4952    o. ccom 4955   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529   iota_crio 6163   omcom 6589    ~~ cen 7420   Fincfn 7423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-om 6590  df-recs 6945  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224
This theorem is referenced by:  isf32lem9  8645
  Copyright terms: Public domain W3C validator