MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem7 Structured version   Unicode version

Theorem isf32lem7 8756
Description: Lemma for isfin3-2 8764. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
Assertion
Ref Expression
isf32lem7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( K `  A )  i^i  ( K `  B )
)  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, w, B    v, u, w, x, y, ph    w, A, x, y    w, F, x, y    u, S, v, w, x, y    w, J, x, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( v, u)    B( y, v, u)    F( v, u)    G( x, y, w, v, u)    J( v, u)    K( w, v, u)

Proof of Theorem isf32lem7
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . . 5  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
21fveq1i 5873 . . . 4  |-  ( K `
 A )  =  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )
3 isf32lem.d . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
4 ssrab2 3581 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
53, 4eqsstri 3529 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  om
6 isf32lem.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
7 isf32lem.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
8 isf32lem.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
96, 7, 8, 3isf32lem5 8754 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
10 isf32lem.e . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
1110fin23lem22 8724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  J : om -1-1-onto-> S )
125, 9, 11sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : om -1-1-onto-> S )
13 f1of 5822 . . . . . . . 8  |-  ( J : om -1-1-onto-> S  ->  J : om
--> S )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : om --> S )
15 fvco3 5950 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
) )
1614, 15sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  A ) ) )
1716ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
) )
1814adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  B )  ->  J : om
--> S )
19 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
20 ffvelrn 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  A  e.  om )  ->  ( J `  A
)  e.  S )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  A
)  e.  S )
22 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( J `  A ) ) )
23 suceq 4952 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  suc  w  =  suc  ( J `
 A ) )
2423fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )
2522, 24difeq12d 3619 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  (
( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
26 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  =  ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )
27 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( J `  A ) )  e. 
_V
28 difexg 4604 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) )  e.  _V  ->  (
( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) )  e.  _V )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )  e. 
_V
3025, 26, 29fvmpt 5956 . . . . . 6  |-  ( ( J `  A )  e.  S  ->  (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
)  =  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) ) )
3121, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  A ) )  =  ( ( F `  ( J `  A ) )  \  ( F `
 suc  ( J `  A ) ) ) )
3217, 31eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
332, 32syl5eq 2510 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( K `  A
)  =  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) ) )
341fveq1i 5873 . . . 4  |-  ( K `
 B )  =  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )
35 fvco3 5950 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  B  e.  om )  ->  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  B )
) )
3614, 35sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  B )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  B ) ) )
3736ad2ant2rl 748 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  B )
) )
38 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  e.  om )
39 ffvelrn 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  B  e.  om )  ->  ( J `  B
)  e.  S )
4018, 38, 39syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  B
)  e.  S )
41 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( J `  B ) ) )
42 suceq 4952 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  suc  w  =  suc  ( J `
 B ) )
4342fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  ( J `  B
) ) )
4441, 43difeq12d 3619 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  (
( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) )  =  ( ( F `
 ( J `  B ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  B ) ) ) )
45 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( J `  B ) )  e. 
_V
46 difexg 4604 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( J `
 B ) )  e.  _V  ->  (
( F `  ( J `  B )
)  \  ( F `  suc  ( J `  B ) ) )  e.  _V )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( J `
 B ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  B
) ) )  e. 
_V
4844, 26, 47fvmpt 5956 . . . . . 6  |-  ( ( J `  B )  e.  S  ->  (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  B )
)  =  ( ( F `  ( J `
 B ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  B
) ) ) )
4940, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  B ) )  =  ( ( F `  ( J `  B ) )  \  ( F `
 suc  ( J `  B ) ) ) )
5037, 49eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )  =  ( ( F `  ( J `  B )
)  \  ( F `  suc  ( J `  B ) ) ) )
5134, 50syl5eq 2510 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( K `  B
)  =  ( ( F `  ( J `
 B ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  B
) ) ) )
5233, 51ineq12d 3697 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( K `  A )  i^i  ( K `  B )
)  =  ( ( ( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) )  i^i  ( ( F `
 ( J `  B ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  B ) ) ) ) )
53 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  ->  ph )
54 simplr 755 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  ->  A  =/=  B )
55 f1of1 5821 . . . . . . . . 9  |-  ( J : om -1-1-onto-> S  ->  J : om
-1-1-> S )
5612, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : om -1-1-> S
)
5756adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  B )  ->  J : om
-1-1-> S )
58 f1fveq 6171 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om -1-1-> S  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( J `  A )  =  ( J `  B )  <->  A  =  B ) )
5957, 58sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( J `  A )  =  ( J `  B )  <-> 
A  =  B ) )
6059biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( J `  A )  =  ( J `  B )  ->  A  =  B ) )
6160necon3d 2681 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( A  =/=  B  ->  ( J `  A
)  =/=  ( J `
 B ) ) )
6254, 61mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  A
)  =/=  ( J `
 B ) )
635, 21sseldi 3497 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  A
)  e.  om )
645, 40sseldi 3497 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  B
)  e.  om )
656, 7, 8isf32lem4 8753 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( J `  A )  =/=  ( J `  B
) )  /\  (
( J `  A
)  e.  om  /\  ( J `  B )  e.  om ) )  ->  ( ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )  i^i  ( ( F `  ( J `  B ) )  \  ( F `
 suc  ( J `  B ) ) ) )  =  (/) )
6653, 62, 63, 64, 65syl22anc 1229 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) )  i^i  (
( F `  ( J `  B )
)  \  ( F `  suc  ( J `  B ) ) ) )  =  (/) )
6752, 66eqtrd 2498 1  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( K `  A )  i^i  ( K `  B )
)  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471    C. wpss 3472   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   |^|cint 4288   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   suc csuc 4889   ran crn 5009    o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   iota_crio 6257   omcom 6699    ~~ cen 7532   Fincfn 7535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-om 6700  df-recs 7060  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337
This theorem is referenced by:  isf32lem9  8758
  Copyright terms: Public domain W3C validator