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Theorem isf32lem2 8521
Description: Lemma for isfin3-2 8534. Non-minimum implies that there is always another decrease. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
Assertion
Ref Expression
isf32lem2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) )
Distinct variable groups:    x, a    G, a    ph, a, x    A, a, x    F, a, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem isf32lem2
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  -.  |^| ran  F  e.  ran  F )
3 isf32lem.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
4 ffn 5557 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : om --> ~P G  ->  F  Fn  om )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  om )
6 peano2 6494 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
7 fnfvelrn 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( F `  suc  A )  e.  ran  F
)
85, 6, 7syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( F `  suc  A )  e. 
ran  F )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  e. 
ran  F )
10 intss1 4141 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  A
)  e.  ran  F  ->  |^| ran  F  C_  ( F `  suc  A
) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  C_  ( F `  suc  A ) )
12 fvelrnb 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  om  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
135, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
15 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  c  e.  om )
166ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  suc  A  e.  om )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  suc  A  C_  c
)
18 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
19 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 suc  A )
)
2019eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  suc  A )  =  ( F `
 suc  A )
) )
2120imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  A
) ) ) )
22 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
2322eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  suc  A )  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d
) ) )
2423imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  d  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d ) ) ) )
25 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 suc  d )
)
2625eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  suc  A )  =  ( F `
 suc  d )
) )
2726imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) ) ) )
28 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  b )  =  ( F `  c ) )
2928eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  c  ->  (
( F `  suc  A )  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c
) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  c  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c ) ) ) )
31 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 suc  A )  =  ( F `  suc  A )
3231a1ii 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  A ) ) )
33 elex 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  suc 
A  e.  _V )
34 sucexb 6418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  _V )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  A  e.  _V )
37 sucssel 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  A  C_  d  ->  A  e.  d ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  d  ->  A  e.  d ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  A  e.  d )
40 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  d  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  d ) )
41 suceq 4782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  d  ->  suc  a  =  suc  d )
4241fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  d  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  suc  d ) )
43 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  d  ->  ( F `  a )  =  ( F `  d ) )
4442, 43eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  d  ->  (
( F `  suc  a )  =  ( F `  a )  <-> 
( F `  suc  d )  =  ( F `  d ) ) )
4540, 44imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  d  ->  (
( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  ( A  e.  d  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4645rspcv 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  om  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  d  ->  ( F `
 suc  d )  =  ( F `  d ) ) ) )
4746com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  om  ->  ( A  e.  d  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A  e.  d  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4939, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) )
50 eqtr3 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  suc  A )  =  ( F `
 d )  /\  ( F `  suc  d
)  =  ( F `
 d ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) )
5150expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  suc  d
)  =  ( F `
 d )  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  d )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) ) )
5249, 51syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( ( F `  suc  A )  =  ( F `  d )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d ) ) ) )
5352a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d ) )  -> 
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d ) ) ) )
5421, 24, 27, 30, 32, 53findsg 6501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c
) ) )
5554impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  ( suc  A  C_  c  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c ) )
5615, 16, 17, 18, 55syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `
 c ) )
57 eqimss 3406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  suc  A
)  =  ( F `
 c )  -> 
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
596ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  suc  A  e.  om )
60 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  c  e.  om )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  c  C_  suc  A )
62 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  ph )
63 isf32lem.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
643, 63, 1isf32lem1 8520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( suc  A  e. 
om  /\  c  e.  om )  /\  ( c 
C_  suc  A  /\  ph ) )  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  ( F `  c ) )
6559, 60, 61, 62, 64syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  ( F `  suc  A )  C_  ( F `  c )
)
66 nnord 6482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  Ord 
suc  A )
676, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  suc 
A )
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  ->  Ord  suc  A )
69 nnord 6482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  om  ->  Ord  c )
7069ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  ->  Ord  c )
71 ordtri2or2 4813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  c )  ->  ( suc  A  C_  c  \/  c  C_  suc  A ) )
7268, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  -> 
( suc  A  C_  c  \/  c  C_  suc  A
) )
7358, 65, 72mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  -> 
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
7473anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )  /\  c  e.  om )  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  ( F `  c ) )
75 sseq2 3376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c )  =  b  ->  (
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c )  <->  ( F `  suc  A )  C_  b ) )
7674, 75syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )  /\  c  e.  om )  ->  (
( F `  c
)  =  b  -> 
( F `  suc  A )  C_  b )
)
7776rexlimdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b  ->  ( F `
 suc  A )  C_  b ) )
7814, 77sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( b  e.  ran  F  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  b ) )
7978ralrimiv 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  A. b  e.  ran  F ( F `
 suc  A )  C_  b )
80 ssint 4142 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  A
)  C_  |^| ran  F  <->  A. b  e.  ran  F
( F `  suc  A )  C_  b )
8179, 80sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  C_  |^|
ran  F )
8211, 81eqssd 3371 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  =  ( F `  suc  A ) )
8382, 9eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
842, 83mtand 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  -.  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) )
85 rexnal 2724 . . 3  |-  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  -.  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) )
8684, 85sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
87 suceq 4782 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  suc  x  =  suc  a )
8887fveq2d 5693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  a ) )
89 fveq2 5689 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
9088, 89sseq12d 3383 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  suc  x )  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a ) ) )
9190cbvralv 2945 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x )  <->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a )  C_  ( F `  a )
)
9263, 91sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a ) )
9392adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a )  C_  ( F `  a )
)
94 pm4.61 426 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  ( A  e.  a  /\  -.  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
95 dfpss2 3439 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  a
)  C.  ( F `  a )  <->  ( ( F `  suc  a ) 
C_  ( F `  a )  /\  -.  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )
9695simplbi2 625 . . . . . 6  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  ( -.  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a )  ->  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) )
9796anim2d 565 . . . . 5  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  (
( A  e.  a  /\  -.  ( F `
 suc  a )  =  ( F `  a ) )  -> 
( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
9894, 97syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a ) 
C.  ( F `  a ) ) ) )
9998ralimi 2789 . . 3  |-  ( A. a  e.  om  ( F `  suc  a ) 
C_  ( F `  a )  ->  A. a  e.  om  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) ) )
100 rexim 2818 . . 3  |-  ( A. a  e.  om  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a ) 
C.  ( F `  a ) ) )  ->  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
10193, 99, 1003syl 20 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
10286, 101mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3326    C. wpss 3327   ~Pcpw 3858   |^|cint 4126   Ord word 4716   suc csuc 4719   ran crn 4839    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416   omcom 6474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-om 6475
This theorem is referenced by:  isf32lem5  8524
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