MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem12 Structured version   Unicode version

Theorem isf32lem12 8775
Description: Lemma for isfin3-2 8778. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isf32lem40.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
Assertion
Ref Expression
isf32lem12  |-  ( G  e.  V  ->  ( -.  om  ~<_*  G  ->  G  e.  F ) )
Distinct variable groups:    g, F    g, a, x, G
Allowed substitution hints:    F( x, a)    V( x, g, a)

Proof of Theorem isf32lem12
Dummy variables  b 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7477 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ~P G  ^m  om )  ->  f : om --> ~P G )
2 isf32lem11 8774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( f : om --> ~P G  /\  A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )  /\  -.  |^| ran  f  e. 
ran  f ) )  ->  om  ~<_*  G )
32expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> ~P G  /\  A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )  /\  -.  |^| ran  f  e. 
ran  f )  -> 
( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
433expa 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : om --> ~P G  /\  A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )
)  /\  -.  |^| ran  f  e.  ran  f )  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
54impancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : om --> ~P G  /\  A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )
)  /\  G  e.  V )  ->  ( -.  |^| ran  f  e. 
ran  f  ->  om  ~<_*  G ) )
65con1d 124 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : om --> ~P G  /\  A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )
)  /\  G  e.  V )  ->  ( -.  om  ~<_*  G  ->  |^| ran  f  e.  ran  f ) )
76exp31 602 . . . . 5  |-  ( f : om --> ~P G  ->  ( A. b  e. 
om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )  ->  ( G  e.  V  ->  ( -.  om  ~<_*  G  ->  |^| ran  f  e.  ran  f ) ) ) )
81, 7syl 17 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ~P G  ^m  om )  ->  ( A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )  ->  ( G  e.  V  ->  ( -.  om  ~<_*  G  ->  |^| ran  f  e.  ran  f ) ) ) )
98com4t 85 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( -.  om  ~<_*  G  ->  ( f  e.  ( ~P G  ^m  om )  ->  ( A. b  e.  om  (
f `  suc  b ) 
C_  ( f `  b )  ->  |^| ran  f  e.  ran  f ) ) ) )
109ralrimdv 2819 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( -.  om  ~<_*  G  ->  A. f  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )  ->  |^| ran  f  e. 
ran  f ) ) )
11 isf32lem40.f . . 3  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
1211isfin3ds 8740 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( G  e.  F  <->  A. f  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. b  e.  om  ( f `  suc  b )  C_  (
f `  b )  ->  |^| ran  f  e. 
ran  f ) ) )
1310, 12sylibrd 234 1  |-  ( G  e.  V  ->  ( -.  om  ~<_*  G  ->  G  e.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2753    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   |^|cint 4226   class class class wbr 4394   ran crn 4823   suc csuc 5411   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   omcom 6682    ^m cmap 7456    ~<_* cwdom 8016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-1o 7166  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-wdom 8018  df-card 8351
This theorem is referenced by:  isf33lem  8777  isfin3-2  8778
  Copyright terms: Public domain W3C validator