MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem10 Structured version   Unicode version

Theorem isf32lem10 8733
Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)    V( x, y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem10
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
4 isf32lem.d . . 3  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
5 isf32lem.e . . 3  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
6 isf32lem.f . . 3  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
7 isf32lem.g . . 3  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isf32lem9 8732 . 2  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
9 fof 5777 . . . . 5  |-  ( L : G -onto-> om  ->  L : G --> om )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
11 fex 6120 . . . 4  |-  ( ( L : G --> om  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1210, 11sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1312ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  L  e.  _V )
)
14 fowdom 7989 . . 3  |-  ( ( L  e.  _V  /\  L : G -onto-> om )  ->  om  ~<_*  G )
1514expcom 433 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  ->  ( L  e.  _V  ->  om  ~<_*  G ) )
168, 13, 15sylsyld 56 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461    C. wpss 3462   ~Pcpw 3999   |^|cint 4271   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   suc csuc 4869   ran crn 4989    o. ccom 4992   iotacio 5532   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   ` cfv 5570   iota_crio 6231   omcom 6673    ~~ cen 7506    ~<_* cwdom 7975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-om 6674  df-recs 7034  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-wdom 7977  df-card 8311
This theorem is referenced by:  isf32lem11  8734
  Copyright terms: Public domain W3C validator