MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem10 Structured version   Unicode version

Theorem isf32lem10 8738
Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)    V( x, y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem10
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
4 isf32lem.d . . 3  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
5 isf32lem.e . . 3  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S  ( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
6 isf32lem.f . . 3  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
7 isf32lem.g . . 3  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isf32lem9 8737 . 2  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
9 fof 5793 . . . . 5  |-  ( L : G -onto-> om  ->  L : G --> om )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
11 fex 6131 . . . 4  |-  ( ( L : G --> om  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1210, 11sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1312ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  L  e.  _V )
)
14 fowdom 7993 . . 3  |-  ( ( L  e.  _V  /\  L : G -onto-> om )  ->  om  ~<_*  G )
1514expcom 435 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  ->  ( L  e.  _V  ->  om  ~<_*  G ) )
168, 13, 15sylsyld 56 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476    C. wpss 3477   ~Pcpw 4010   |^|cint 4282   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   suc csuc 4880   ran crn 5000    o. ccom 5003   iotacio 5547   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586   iota_crio 6242   omcom 6678    ~~ cen 7510    ~<_* cwdom 7979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-om 6679  df-recs 7039  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-wdom 7981  df-card 8316
This theorem is referenced by:  isf32lem11  8739
  Copyright terms: Public domain W3C validator