Theorem iserzshfti 8404

Description: Index shift of an infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserzshft.1	|- F e. _V
iserzshft.2	|- M e. ZZ
iserzshft.3	|- K e. ZZ
iserzshft.4	|- N = (M + K)
iserzshft.5	|- G = (F shift K)

Assertion

Ref	Expression
iserzshfti	|- (A e. B -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.N, + >. seq G) ~~> A))

Proof of Theorem iserzshfti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 8238	. 2 |- ((A e. B /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> A e. CC)
2		climcl 8238	. 2 |- ((A e. B /\ (<.N, + >. seq G) ~~> A) -> A e. CC)
3		oprex 4907	. . . 4 |- (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) e. _V
4		iserzshft.4	. . . . 5 |- N = (M + K)
5		iserzshft.2	. . . . . 6 |- M e. ZZ
6		iserzshft.3	. . . . . 6 |- K e. ZZ
7		zaddcl 7374	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M + K) e. ZZ)
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . . . 5 |- (M + K) e. ZZ
9	4, 8	eqeltri 1967	. . . 4 |- N e. ZZ
10	3, 9	climresi 8365	. . 3 |- (A e. CC -> (((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>=` N)) ~~> A <-> (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A))
11		addex 6470	. . . . . . 7 |- + e. _V
12		iserzshft.5	. . . . . . . 8 |- G = (F shift K)
13		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- (F shift K) e. _V
14	12, 13	eqeltri 1967	. . . . . . 7 |- G e. _V
15	11, 14	seqzfval2 7781	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (<.N, + >. seq G) = ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>=` N)))
16	9, 15	ax-mp 7	. . . . 5 |- (<.N, + >. seq G) = ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>=` N))
17	16	breq1i 3345	. . . 4 |- ((<.N, + >. seq G) ~~> A <-> ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>=` N)) ~~> A)
18	17	a1i 8	. . 3 |- (A e. CC -> ((<.N, + >. seq G) ~~> A <-> ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>=` N)) ~~> A))
19		iserzshft.1	. . . . . . . 8 |- F e. _V
20	11, 19	seqzfval2 7781	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq F) = ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>=` M)))
21	5, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (<.M, + >. seq F) = ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>=` M))
22	21	breq1i 3345	. . . . 5 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>=` M)) ~~> A)
23	22	a1i 8	. . . 4 |- (A e. CC -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>=` M)) ~~> A))
24		oprex 4907	. . . . 5 |- (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) e. _V
25	24, 5	climresi 8365	. . . 4 |- (A e. CC -> (((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) ~~> A))
26		oprex 4907	. . . . . 6 |- ( + seq1 (F shift (1 - M))) e. _V
27		1z 7368	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
28		zsubcl 7377	. . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ 1 e. ZZ) -> (N - 1) e. ZZ)
29	9, 27, 28	mp2an 761	. . . . . 6 |- (N - 1) e. ZZ
30	26, 29	climshfti 8364	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1)) ~~> A <-> ( + seq1 (F shift (1 - M))) ~~> A))
31	12	opreq1i 4892	. . . . . . . . . 10 |- (G shift (1 - N)) = ((F shift K) shift (1 - N))
32		zcn 7349	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
33	6, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- K e. CC
34		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
35		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
36	9, 35	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- N e. CC
37	34, 36	subcli 6523	. . . . . . . . . . 11 |- (1 - N) e. CC
38	19	2shfti 7765	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. CC /\ (1 - N) e. CC) -> ((F shift K) shift (1 - N)) = (F shift (K + (1 - N))))
39	33, 37, 38	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- ((F shift K) shift (1 - N)) = (F shift (K + (1 - N)))
40		subsub 6627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((1 e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> (1 - (N - K)) = ((1 - N) + K))
41	34, 36, 33, 40	mp3an 1191	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 - (N - K)) = ((1 - N) + K)
42	4	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (M + K) = N
43		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
44	5, 43	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M e. CC
45	36, 33, 44	subadd2i 6530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N - K) = M <-> (M + K) = N)
46	42, 45	mpbir 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N - K) = M
47	46	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 - (N - K)) = (1 - M)
48	37, 33	addcomi 6475	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 - N) + K) = (K + (1 - N))
49	41, 47, 48	3eqtr3ri 1920	. . . . . . . . . . 11 |- (K + (1 - N)) = (1 - M)
50	49	opreq2i 4893	. . . . . . . . . 10 |- (F shift (K + (1 - N))) = (F shift (1 - M))
51	31, 39, 50	3eqtri 1912	. . . . . . . . 9 |- (G shift (1 - N)) = (F shift (1 - M))
52	51	opreq2i 4893	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 (G shift (1 - N))) = ( + seq1 (F shift (1 - M)))
53	52	opreq1i 4892	. . . . . . 7 |- (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) = (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1))
54	53	breq1i 3345	. . . . . 6 |- ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A <-> (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1)) ~~> A)
55	54	a1i 8	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A <-> (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1)) ~~> A))
56		zsubcl 7377	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ 1 e. ZZ) -> (M - 1) e. ZZ)
57	5, 27, 56	mp2an 761	. . . . . 6 |- (M - 1) e. ZZ
58	26, 57	climshfti 8364	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) ~~> A <-> ( + seq1 (F shift (1 - M))) ~~> A))
59	30, 55, 58	3bitr4rd 610	. . . 4 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) ~~> A <-> (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A))
60	23, 25, 59	3bitrd 603	. . 3 |- (A e. CC -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A))
61	10, 18, 60	3bitr4rd 610	. 2 |- (A e. CC -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.N, + >. seq G) ~~> A))
62	1, 2, 61	pm5.21nd 744	1 |- (A e. B -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.N, + >. seq G) ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq1 cseq1 7720   shift cshi 7753   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  isumshfti 8465  isumshft2i 8466

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain