Theorem iserzshft2 15829

Description: Index shift of an infinite series.

Assertion

Ref	Expression
iserzshft2	|- (((F e. R /\ G e. S) /\ (M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k)))) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,M   k,K

Proof of Theorem iserzshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 4680	. . . . . . . . 9 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> (F` k) = (if(F e. _V, F, (/))` k))
2	1	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> ((F` k) e. CC <-> (if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC))
3	1	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> ((G` (k + K)) = (F` k) <-> (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> (((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k)) <-> ((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))))
5	4	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))))
6	5	anbi2d 678	. . . . 5 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k))) <-> (A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)))))
7		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> (<.M, + >. seq F) = (<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))))
8	7	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A))
9	8	bibi1d 681	. . . . 5 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> (((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A) <-> ((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A)))
10	6, 9	imbi12d 688	. . . 4 |- (F = if(F e. _V, F, (/)) -> (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k))) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A)) <-> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A))))
11		fveq1 4680	. . . . . . . . 9 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> (G` (k + K)) = (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)))
12	11	eqeq1d 1892	. . . . . . . 8 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> ((G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k) <-> (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)))
13	12	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> (((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)) <-> ((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))))
14	13	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> (A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))))
15	14	anbi2d 678	. . . . 5 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) <-> (A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)))))
16		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> (<.(M + K), + >. seq G) = (<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))))
17	16	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> ((<.(M + K), + >. seq G) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A))
18	17	bibi2d 680	. . . . 5 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> (((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A) <-> ((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A)))
19	15, 18	imbi12d 688	. . . 4 |- (G = if(G e. _V, G, (/)) -> (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A)) <-> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A))))
20		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (ZZ>=` M) = (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0)))
21	20	raleqdv 2269	. . . . . 6 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)) <-> A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))))
22	21	anbi2d 678	. . . . 5 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) <-> (A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)))))
23		opeq1 3158	. . . . . . . 8 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> <.M, + >. = <.if(M e. ZZ, M, 0), + >.)
24	23	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) = (<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))))
25	24	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> ((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A))
26		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (M + K) = (if(M e. ZZ, M, 0) + K))
27	26	opeq1d 3164	. . . . . . . 8 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> <.(M + K), + >. = <.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >.)
28	27	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) = (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))))
29	28	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> ((<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A))
30	25, 29	bibi12d 691	. . . . 5 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A) <-> ((<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A)))
31	22, 30	imbi12d 688	. . . 4 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.M, + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A)) <-> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A))))
32		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (k + K) = (k + if(K e. ZZ, K, 0)))
33	32	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(G e. _V, G, (/))` (k + if(K e. ZZ, K, 0))))
34	33	eqeq1d 1892	. . . . . . . 8 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> ((if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k) <-> (if(G e. _V, G, (/))` (k + if(K e. ZZ, K, 0))) = (if(F e. _V, F, (/))` k)))
35	34	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)) <-> ((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + if(K e. ZZ, K, 0))) = (if(F e. _V, F, (/))` k))))
36	35	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k)) <-> A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + if(K e. ZZ, K, 0))) = (if(F e. _V, F, (/))` k))))
37	36	anbi2d 678	. . . . 5 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) <-> (A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + if(K e. ZZ, K, 0))) = (if(F e. _V, F, (/))` k)))))
38		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (if(M e. ZZ, M, 0) + K) = (if(M e. ZZ, M, 0) + if(K e. ZZ, K, 0)))
39	38	opeq1d 3164	. . . . . . . 8 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> <.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. = <.(if(M e. ZZ, M, 0) + if(K e. ZZ, K, 0)), + >.)
40	39	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) = (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + if(K e. ZZ, K, 0)), + >. seq if(G e. _V, G, (/))))
41	40	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> ((<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + if(K e. ZZ, K, 0)), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A))
42	41	bibi2d 680	. . . . 5 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (((<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A) <-> ((<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + if(K e. ZZ, K, 0)), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A)))
43	37, 42	imbi12d 688	. . . 4 |- (K = if(K e. ZZ, K, 0) -> (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + K)) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + K), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A)) <-> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + if(K e. ZZ, K, 0))) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + if(K e. ZZ, K, 0)), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A))))
44		0ex 3446	. . . . . 6 |- (/) e. _V
45	44	elimel 3025	. . . . 5 |- if(F e. _V, F, (/)) e. _V
46	44	elimel 3025	. . . . 5 |- if(G e. _V, G, (/)) e. _V
47		0z 7355	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
48	47	elimel 3025	. . . . 5 |- if(M e. ZZ, M, 0) e. ZZ
49	47	elimel 3025	. . . . 5 |- if(K e. ZZ, K, 0) e. ZZ
50	45, 46, 48, 49	iserzshft2i 8367	. . . 4 |- ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` if(M e. ZZ, M, 0))((if(F e. _V, F, (/))` k) e. CC /\ (if(G e. _V, G, (/))` (k + if(K e. ZZ, K, 0))) = (if(F e. _V, F, (/))` k))) -> ((<.if(M e. ZZ, M, 0), + >. seq if(F e. _V, F, (/))) ~~> A <-> (<.(if(M e. ZZ, M, 0) + if(K e. ZZ, K, 0)), + >. seq if(G e. _V, G, (/))) ~~> A))
51	10, 19, 31, 43, 50	dedth4h 3017	. . 3 |- (((F e. _V /\ G e. _V) /\ (M e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k))) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A)))
52		elisset 2299	. . . 4 |- (F e. R -> F e. _V)
53		elisset 2299	. . . 4 |- (G e. S -> G e. _V)
54	52, 53	anim12i 360	. . 3 |- ((F e. R /\ G e. S) -> (F e. _V /\ G e. _V))
55	51, 54	sylan 497	. 2 |- (((F e. R /\ G e. S) /\ (M e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k))) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A)))
56	55	3impia 1064	1 |- (((F e. R /\ G e. S) /\ (M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` (k + K)) = (F` k)))) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.(M + K), + >. seq G) ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  geomcau 15849

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain