Theorem iserzcmp 8402

Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserzcmp.1	|- A e. _V
iserzcmp.2	|- B e. _V
iserzcmp.3	|- F e. _V
iserzcmp.4	|- G e. _V

Assertion

Ref	Expression
iserzcmp	|- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (<.M, + >. seq G) ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))) -> A <_ B)

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,M

Proof of Theorem iserzcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. . 3 |- (<.M, + >. seq F) e. _V
2		oprex 4907	. . 3 |- (<.M, + >. seq G) e. _V
3		iserzcmp.1	. . 3 |- A e. _V
4		iserzcmp.2	. . 3 |- B e. _V
5	1, 2, 3, 4	climcmp 8398	. 2 |- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (<.M, + >. seq G) ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m)))) -> A <_ B)
6		iserzcmp.3	. . . . . . 7 |- F e. _V
7	6	serzrecl 8310	. . . . . 6 |- ((m e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...m)(F` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq F)` m) e. RR)
8		simp1 876	. . . . . . . 8 |- (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> (F` k) e. RR)
9	8	ralimi 2168	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR)
10		fzssuz 7677	. . . . . . . 8 |- (M...m) C_ (ZZ>=` M)
11		ssralv 2672	. . . . . . . 8 |- ((M...m) C_ (ZZ>=` M) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(F` k) e. RR))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(F` k) e. RR)
13	9, 12	syl 12	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)(F` k) e. RR)
14	7, 13	sylan2 500	. . . . 5 |- ((m e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq F)` m) e. RR)
15		iserzcmp.4	. . . . . . 7 |- G e. _V
16	15	serzrecl 8310	. . . . . 6 |- ((m e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...m)(G` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR)
17		simp2 877	. . . . . . . 8 |- (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> (G` k) e. RR)
18	17	ralimi 2168	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. RR)
19		ssralv 2672	. . . . . . . 8 |- ((M...m) C_ (ZZ>=` M) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(G` k) e. RR))
20	10, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(G` k) e. RR)
21	18, 20	syl 12	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)(G` k) e. RR)
22	16, 21	sylan2 500	. . . . 5 |- ((m e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR)
23	6, 15	serzcmp 8314	. . . . . 6 |- ((m e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...m)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m))
24		ssralv 2672	. . . . . . 7 |- ((M...m) C_ (ZZ>=` M) -> (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))))
25	10, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))
26	23, 25	sylan2 500	. . . . 5 |- ((m e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m))
27	14, 22, 26	3jca 1050	. . . 4 |- ((m e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> (((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m)))
28	27	expcom 403	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> (m e. (ZZ>=` M) -> (((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m))))
29	28	r19.21aiv 2175	. 2 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.m e. (ZZ>=` M)(((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m)))
30	5, 29	sylanr2 512	1 |- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (<.M, + >. seq G) ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))) -> A <_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  iserzcmp0 8403  isumcmpii 8476  ef1tllem 8643  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  cntrsetlem 14999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain