Theorem iserzabslem 8438

Description: Lemma for iserzabsi 8439.

Hypotheses

Ref	Expression
iserzabslem.1	|- A e. _V
iserzabslem.2	|- B e. _V
iserzabslem.3	|- F e. _V
iserzabslem.4	|- G e. _V
iserzabslem.5	|- (k e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
iserzabslem.6	|- S ~~> A
iserzabslem.7	|- T ~~> B
iserzabslem.8	|- M e. ZZ
iserzabslem.9	|- U e. _V
iserzabslem.10	|- (n e. (ZZ>=` M) -> (U` n) = (abs` (S` n)))
iserzabslem.11	|- S = (<.M, + >. seq F)
iserzabslem.12	|- T = (<.M, + >. seq G)

Assertion

Ref	Expression
iserzabslem	|- (abs` A) <_ B

Distinct variable groups:   A,n   k,F   k,G   k,M,n   S,n   T,n   U,n

Proof of Theorem iserzabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iserzabslem.8	. 2 |- M e. ZZ
2		iserzabslem.10	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (U` n) = (abs` (S` n)))
3		elfzuz 7658	. . . . . . . . 9 |- (k e. (M...n) -> k e. (ZZ>=` M))
4		iserzabslem.5	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
5	4	simplld 348	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) e. CC)
6	3, 5	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. (M...n) -> (F` k) e. CC)
7	6	rgen 2159	. . . . . . 7 |- A.k e. (M...n)(F` k) e. CC
8		iserzabslem.3	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
9	8	serzcl 8305	. . . . . . . 8 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC)
10		iserzabslem.11	. . . . . . . . 9 |- S = (<.M, + >. seq F)
11	10	fveq1i 4682	. . . . . . . 8 |- (S` n) = ((<.M, + >. seq F)` n)
12	9, 11	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> (S` n) e. CC)
13	7, 12	mpan2 760	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (S` n) e. CC)
14		abscl 8084	. . . . . 6 |- ((S` n) e. CC -> (abs` (S` n)) e. RR)
15	13, 14	syl 12	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (abs` (S` n)) e. RR)
16	2, 15	eqeltrd 1971	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (U` n) e. RR)
17	4	simprd 352	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (G` k) = (abs` (F` k)))
18		abscl 8084	. . . . . . . . 9 |- ((F` k) e. CC -> (abs` (F` k)) e. RR)
19	5, 18	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (abs` (F` k)) e. RR)
20	17, 19	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (G` k) e. RR)
21	3, 20	syl 12	. . . . . 6 |- (k e. (M...n) -> (G` k) e. RR)
22	21	rgen 2159	. . . . 5 |- A.k e. (M...n)(G` k) e. RR
23		iserzabslem.4	. . . . . . 7 |- G e. _V
24	23	serzrecl 8310	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...n)(G` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq G)` n) e. RR)
25		iserzabslem.12	. . . . . . 7 |- T = (<.M, + >. seq G)
26	25	fveq1i 4682	. . . . . 6 |- (T` n) = ((<.M, + >. seq G)` n)
27	24, 26	syl5eqel 1975	. . . . 5 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...n)(G` k) e. RR) -> (T` n) e. RR)
28	22, 27	mpan2 760	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (T` n) e. RR)
29		fsumabs 8303	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) <_ sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)))
30	7, 29	mpan2 760	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) <_ sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)))
31	8	fsumserz 8259	. . . . . . . 8 |- (n e. (ZZ>=` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = ((<.M, + >. seq F)` n))
32	31, 11	syl6eqr 1946	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = (S` n))
33	32	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) = (abs` (S` n)))
34	33, 2	eqtr4d 1928	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) = (U` n))
35	23	fsumserz 8259	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` M) -> sum_k e. (M...n)(G` k) = ((<.M, + >. seq G)` n))
36	35, 26	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) -> sum_k e. (M...n)(G` k) = (T` n))
37	3, 17	syl 12	. . . . . . 7 |- (k e. (M...n) -> (G` k) = (abs` (F` k)))
38	37	sumeq2i 8248	. . . . . 6 |- sum_k e. (M...n)(G` k) = sum_k e. (M...n)(abs` (F` k))
39	36, 38	syl5eqr 1942	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` M) -> sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)) = (T` n))
40	30, 34, 39	3brtr3d 3366	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (U` n) <_ (T` n))
41	16, 28, 40	3jca 1050	. . 3 |- (n e. (ZZ>=` M) -> ((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n)))
42	41	rgen 2159	. 2 |- A.n e. (ZZ>=` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n))
43		iserzabslem.1	. . . 4 |- A e. _V
44		iserzabslem.9	. . . 4 |- U e. _V
45		iserzabslem.6	. . . 4 |- S ~~> A
46	13, 2	jca 310	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` M) -> ((S` n) e. CC /\ (U` n) = (abs` (S` n))))
47	43, 44, 1, 45, 46	climabsi 8409	. . 3 |- U ~~> (abs` A)
48		iserzabslem.7	. . 3 |- T ~~> B
49		oprex 4907	. . . . 5 |- (<.M, + >. seq G) e. _V
50	25, 49	eqeltri 1967	. . . 4 |- T e. _V
51		fvex 4689	. . . 4 |- (abs` A) e. _V
52		iserzabslem.2	. . . 4 |- B e. _V
53	44, 50, 51, 52	climcmp 8398	. . 3 |- (((U ~~> (abs` A) /\ T ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n)))) -> (abs` A) <_ B)
54	47, 48, 53	mpanl12 773	. 2 |- ((M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n))) -> (abs` A) <_ B)
55	1, 42, 54	mp2an 761	1 |- (abs` A) <_ B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774  abscabs 8000   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  iserzabsi 8439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain