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Theorem iserodd 13898
Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iserodd.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
iserodd.h  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
iserodd  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  C ) )  ~~>  A  <->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    B, k    C, n    k, n, ph
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( n)    C( k)

Proof of Theorem iserodd
Dummy variables  i 
j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10891 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 nnuz 10892 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 0zd 10654 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 1zzd 10673 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5 2nn0 10592 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
7 nn0mulcl 10612 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  m
)  e.  NN0 )
86, 7sylan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  m )  e. 
NN0 )
9 nn0p1nn 10615 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  m )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  m )  +  1 )  e.  NN )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  m )  +  1 )  e.  NN )
11 eqid 2441 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )
1210, 11fmptd 5864 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) : NN0 --> NN )
13 nn0mulcl 10612 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  i
)  e.  NN0 )
146, 13sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  i )  e. 
NN0 )
1514nn0red 10633 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  i )  e.  RR )
16 peano2nn0 10616 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  +  1 )  e. 
NN0 )
17 nn0mulcl 10612 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
i  +  1 ) )  e.  NN0 )
186, 16, 17syl2an 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  e. 
NN0 )
1918nn0red 10633 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
20 1red 9397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
21 nn0re 10584 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
2221adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  RR )
2322ltp1d 10259 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
2416adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  +  1 )  e. 
NN0 )
2524nn0red 10633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
26 2re 10387 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
28 2pos 10409 . . . . . . 7  |-  0  <  2
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  0  <  2 )
30 ltmul2 10176 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( i  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( 2  x.  i )  <  (
2  x.  ( i  +  1 ) ) ) )
3122, 25, 27, 29, 30syl112anc 1217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( 2  x.  i )  <  (
2  x.  ( i  +  1 ) ) ) )
3223, 31mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  i )  < 
( 2  x.  (
i  +  1 ) ) )
3315, 19, 20, 32ltadd1dd 9946 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  i )  +  1 )  < 
( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
34 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( m  =  i  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  i ) )
3534oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( m  =  i  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )
36 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  i )  +  1 )  e. 
_V
3735, 11, 36fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i )  =  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )
3837adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i )  =  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )
39 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( i  +  1 )  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  ( i  +  1 ) ) )
4039oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( m  =  ( i  +  1 )  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
41 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 )  e. 
_V
4240, 11, 41fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( ( i  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
4324, 42syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
4433, 38, 433brtr4d 4319 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i )  < 
( ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  ( i  +  1 ) ) )
45 eldifi 3475 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
46 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
47 0cnd 9375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  0  e.  CC )
48 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4948adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
50 odd2np1 13588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )
52 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  k  e.  ZZ )
53 nnm1nn0 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5453ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
5554nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
5654nn0ge0d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <_  ( n  -  1 ) )
5726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  2  e.  RR )
5828a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <  2 )
59 divge0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  -  1 )  /  2 ) )
6055, 56, 57, 58, 59syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <_  ( ( n  -  1 )  /  2 ) )
61 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  =  n )
6261oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( n  -  1 ) )
63 2cn 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
64 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
6564ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  k  e.  CC )
66 mulcl 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
6763, 65, 66sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
68 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
69 pncan 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
7067, 68, 69sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
7162, 70eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( n  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
7271oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
n  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  k )  /  2
) )
7363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  2  e.  CC )
74 2ne0 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  2  =/=  0 )
7665, 73, 75divcan3d 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
2  x.  k )  /  2 )  =  k )
7772, 76eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
n  -  1 )  /  2 )  =  k )
7860, 77breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <_  k )
79 elnn0z 10655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
8052, 78, 79sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  k  e.  NN0 )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  k  e.  NN0 ) )
82 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )
8382eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
8581, 84jcad 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  ( k  e. 
NN0  /\  n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
8685reximdv2 2823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  n  ->  E. k  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
8751, 86sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  E. k  e.  NN0  n  =  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )
88 iserodd.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
89 iserodd.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  =  C )
9089eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
9188, 90syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  e.  CC ) )
9291rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
NN0  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  ->  B  e.  CC ) )
9392adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  e.  CC ) )
9487, 93syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  B  e.  CC )
)
9594imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  B  e.  CC )
9647, 95ifclda 3818 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B )  e.  CC )
97 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )
9897fvmpt2 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  n )  =  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) )
9946, 96, 98syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )
10045, 99sylan2 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )
101 eldif 3335 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  ran  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )
102 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  n  e. 
_V
103 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  k ) )
104103oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
105104cbvmptv 4380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
106105elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  _V  ->  (
n  e.  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  <->  E. k  e.  NN0  n  =  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )
107102, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  <->  E. k  e.  NN0  n  =  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )
10887, 107syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  n  e.  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )
109108con1d 124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  n  e.  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  ->  2  ||  n
) )
110109impr 616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  ran  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  2  ||  n )
111101, 110sylan2b 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  2  ||  n )
112 iftrue 3794 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  n  ->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
)  =  0 )
113111, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
)  =  0 )
114100, 113eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  0 )
115114ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  n )  =  0 )
116 nfv 1678 . . . . 5  |-  F/ j ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 n )  =  0
117 nffvmpt1 5696 . . . . . 6  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 j )
118117nfeq1 2586 . . . . 5  |-  F/ n
( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 j )  =  0
119 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  j
) )
120119eqeq1d 2449 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 n )  =  0  <->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  j )  =  0 ) )
121116, 118, 120cbvral 2941 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( NN  \  ran  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 n )  =  0  <->  A. j  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  j )  =  0 )
122115, 121sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  j )  =  0 )
123122r19.21bi 2812 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  j
)  =  0 )
12496, 97fmptd 5864 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) : NN --> CC )
125124ffvelrnda 5840 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  j
)  e.  CC )
126 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
127 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  C )  =  ( k  e. 
NN0  |->  C )
128127fvmpt2 5778 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  C )
129126, 88, 128syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 k )  =  C )
130 ovex 6115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
_V
131104, 11, 130fvmpt 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
132131adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
133132fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
134 nn0mulcl 10612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  k
)  e.  NN0 )
1356, 134sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
136 nn0p1nn 10615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
137135, 136syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
138 2z 10674 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
139 nn0z 10665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
140139adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
141 dvdsmul1 13550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  k ) )
142138, 140, 141sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  ||  ( 2  x.  k
) )
143135nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  ZZ )
144 2nn 10475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN )
146 1lt2 10484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  2
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  <  2 )
148 ndvdsp1 13609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  ( 2  x.  k )  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
149143, 145, 147, 148syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2 
||  ( 2  x.  k )  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
150142, 149mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
151 iffalse 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  if ( 2  ||  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ,  0 ,  C
)  =  C )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
2  ||  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C )  =  C )
153152, 88eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
2  ||  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C )  e.  CC )
154 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  (
2  ||  n  <->  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
155154, 89ifbieq2d 3811 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
)  =  if ( 2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C ) )
156155, 97fvmptg 5769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN  /\  if ( 2  ||  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ,  0 ,  C
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  if ( 2 
||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C ) )
157137, 153, 156syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  if ( 2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C ) )
158133, 157, 1523eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  =  C )
159129, 158eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k ) ) )
160159ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) ) )
161 nfv 1678 . . . . 5  |-  F/ i ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )
162 nffvmpt1 5696 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )
163162nfeq1 2586 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) )
164 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
( k  e.  NN0  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  C ) `
 i ) )
165 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
)  =  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i ) )
166165fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) ) )
167164, 166eqeq12d 2455 . . . . 5  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i ) ) ) )
168161, 163, 167cbvral 2941 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN0  ( ( k  e.  NN0  |->  C ) `
 k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k ) )  <->  A. i  e.  NN0  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) ) )
169160, 168sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN0  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) ) )
170169r19.21bi 2812 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i ) ) )
1711, 2, 3, 4, 12, 44, 123, 125, 170isercoll2 13142 1  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  C ) )  ~~>  A  <->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642    seqcseq 11802    ~~> cli 12958    || cdivides 13531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-dvds 13532
This theorem is referenced by:  atantayl3  22293  leibpilem2  22295
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