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Theorem iserodd 14797
Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iserodd.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
iserodd.h  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
iserodd  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  C ) )  ~~>  A  <->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    B, k    C, n    k, n, ph
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( n)    C( k)

Proof of Theorem iserodd
Dummy variables  i 
j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11200 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 nnuz 11201 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 0zd 10956 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 1zzd 10975 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5 2nn0 10893 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
7 nn0mulcl 10913 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  m
)  e.  NN0 )
86, 7sylan 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  m )  e. 
NN0 )
9 nn0p1nn 10916 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  m )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  m )  +  1 )  e.  NN )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  m )  +  1 )  e.  NN )
11 eqid 2453 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )
1210, 11fmptd 6051 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) : NN0 --> NN )
13 nn0mulcl 10913 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  i
)  e.  NN0 )
146, 13sylan 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  i )  e. 
NN0 )
1514nn0red 10933 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  i )  e.  RR )
16 peano2nn0 10917 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  +  1 )  e. 
NN0 )
17 nn0mulcl 10913 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
i  +  1 ) )  e.  NN0 )
186, 16, 17syl2an 480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  e. 
NN0 )
1918nn0red 10933 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
20 1red 9663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
21 nn0re 10885 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
2221adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  RR )
2322ltp1d 10544 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
2416adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  +  1 )  e. 
NN0 )
2524nn0red 10933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  +  1 )  e.  RR )
26 2re 10686 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
28 2pos 10708 . . . . . . 7  |-  0  <  2
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  0  <  2 )
30 ltmul2 10463 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( i  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( 2  x.  i )  <  (
2  x.  ( i  +  1 ) ) ) )
3122, 25, 27, 29, 30syl112anc 1273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( 2  x.  i )  <  (
2  x.  ( i  +  1 ) ) ) )
3223, 31mpbid 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  i )  < 
( 2  x.  (
i  +  1 ) ) )
3315, 19, 20, 32ltadd1dd 10231 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  i )  +  1 )  < 
( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
34 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( m  =  i  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  i ) )
3534oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( m  =  i  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )
36 ovex 6323 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  i )  +  1 )  e. 
_V
3735, 11, 36fvmpt 5953 . . . 4  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i )  =  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )
3837adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i )  =  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )
39 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( i  +  1 )  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  ( i  +  1 ) ) )
4039oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( m  =  ( i  +  1 )  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
41 ovex 6323 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 )  e. 
_V
4240, 11, 41fvmpt 5953 . . . 4  |-  ( ( i  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
4324, 42syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  +  1 ) )  +  1 ) )
4433, 38, 433brtr4d 4436 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i )  < 
( ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  ( i  +  1 ) ) )
45 eldifi 3557 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
46 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
47 0cnd 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  2  ||  n )  ->  0  e.  CC )
48 nnz 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4948adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
50 odd2np1 14377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )
52 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  k  e.  ZZ )
53 nnm1nn0 10918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5453ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
5554nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
5654nn0ge0d 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <_  ( n  -  1 ) )
5726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  2  e.  RR )
5828a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <  2 )
59 divge0 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  -  1 )  /  2 ) )
6055, 56, 57, 58, 59syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <_  ( ( n  -  1 )  /  2 ) )
61 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  =  n )
6261oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( n  -  1 ) )
63 2cn 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
64 zcn 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
6564ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  k  e.  CC )
66 mulcl 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
6763, 65, 66sylancr 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
68 ax-1cn 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
69 pncan 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k ) )
7067, 68, 69sylancl 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
7162, 70eqtr3d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( n  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
7271oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
n  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  k )  /  2
) )
73 2cnd 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  2  e.  CC )
74 2ne0 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  2  =/=  0 )
7665, 73, 75divcan3d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
2  x.  k )  /  2 )  =  k )
7772, 76eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  ( (
n  -  1 )  /  2 )  =  k )
7860, 77breqtrd 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  0  <_  k )
79 elnn0z 10957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
8052, 78, 79sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n ) )  ->  k  e.  NN0 )
8180ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  k  e.  NN0 ) )
82 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )
8382eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
8581, 84jcad 536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  n )  ->  ( k  e. 
NN0  /\  n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
8685reximdv2 2860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  n  ->  E. k  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
8751, 86sylbid 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  E. k  e.  NN0  n  =  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )
88 iserodd.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
89 iserodd.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  =  C )
9089eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
9188, 90syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  e.  CC ) )
9291rexlimdva 2881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
NN0  n  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  ->  B  e.  CC ) )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  B  e.  CC ) )
9487, 93syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  B  e.  CC )
)
9594imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  2  ||  n )  ->  B  e.  CC )
9647, 95ifclda 3915 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B )  e.  CC )
97 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )
9897fvmpt2 5962 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  n )  =  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) )
9946, 96, 98syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )
10045, 99sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) )
101 eldif 3416 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  ran  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )
102 vex 3050 . . . . . . . . . . . 12  |-  n  e. 
_V
103 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  k ) )
104103oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
105104cbvmptv 4498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
106105elrnmpt 5084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  _V  ->  (
n  e.  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  <->  E. k  e.  NN0  n  =  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ) )
107102, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  <->  E. k  e.  NN0  n  =  ( (
2  x.  k )  +  1 ) )
10887, 107syl6ibr 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  n  ->  n  e.  ran  ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )
109108con1d 128 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  n  e.  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  ->  2  ||  n
) )
110109impr 625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  -.  n  e.  ran  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  2  ||  n )
111101, 110sylan2b 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  2  ||  n )
112111iftrued 3891 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
)  =  0 )
113100, 112eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  0 )
114113ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  n )  =  0 )
115 nfv 1763 . . . . 5  |-  F/ j ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 n )  =  0
116 nffvmpt1 5878 . . . . . 6  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 j )
117116nfeq1 2607 . . . . 5  |-  F/ n
( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 j )  =  0
118 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  j
) )
119118eqeq1d 2455 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 n )  =  0  <->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  j )  =  0 ) )
120115, 117, 119cbvral 3017 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( NN  \  ran  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 n )  =  0  <->  A. j  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  j )  =  0 )
121114, 120sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  j )  =  0 )
122121r19.21bi 2759 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  ran  (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  j
)  =  0 )
12396, 97fmptd 6051 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) : NN --> CC )
124123ffvelrnda 6027 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  j
)  e.  CC )
125 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
126 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  C )  =  ( k  e. 
NN0  |->  C )
127126fvmpt2 5962 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  C )
128125, 88, 127syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 k )  =  C )
129 ovex 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
_V
130104, 11, 129fvmpt 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
131130adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
132131fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
133 nn0mulcl 10913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  k
)  e.  NN0 )
1346, 133sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
135 nn0p1nn 10916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
136134, 135syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
137 2z 10976 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
138 nn0z 10967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
139138adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
140 dvdsmul1 14336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  k ) )
141137, 139, 140sylancr 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  ||  ( 2  x.  k
) )
142134nn0zd 11045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  ZZ )
143 2nn 10774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN )
145 1lt2 10783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  2
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  <  2 )
147 ndvdsp1 14402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  ( 2  x.  k )  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
148142, 144, 146, 147syl3anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2 
||  ( 2  x.  k )  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
149141, 148mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
150149iffalsed 3894 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
2  ||  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C )  =  C )
151150, 88eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
2  ||  ( (
2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C )  e.  CC )
152 breq2 4409 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  (
2  ||  n  <->  2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
153152, 89ifbieq2d 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  ->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
)  =  if ( 2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C ) )
154153, 97fvmptg 5951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN  /\  if ( 2  ||  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ,  0 ,  C
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B ) ) `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  if ( 2 
||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C ) )
155136, 151, 154syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  if ( 2  ||  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ,  0 ,  C ) )
156132, 155, 1503eqtrd 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  =  C )
157128, 156eqtr4d 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k ) ) )
158157ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) ) )
159 nfv 1763 . . . . 5  |-  F/ i ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )
160 nffvmpt1 5878 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )
161160nfeq1 2607 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) )
162 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
( k  e.  NN0  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  C ) `
 i ) )
163 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
)  =  ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i ) )
164163fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) ) )
165162, 164eqeq12d 2468 . . . . 5  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i ) ) ) )
166159, 161, 165cbvral 3017 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN0  ( ( k  e.  NN0  |->  C ) `
 k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 k ) )  <->  A. i  e.  NN0  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) ) )
167158, 166sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN0  ( ( k  e. 
NN0  |->  C ) `  i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) `  (
( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `  i
) ) )
168167r19.21bi 2759 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( 2 
||  n ,  0 ,  B ) ) `
 ( ( m  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) `
 i ) ) )
1691, 2, 3, 4, 12, 44, 122, 124, 168isercoll2 13744 1  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  C ) )  ~~>  A  <->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( 2  ||  n ,  0 ,  B
) ) )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    \ cdif 3403   ifcif 3883   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   ran crn 4838   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944    seqcseq 12220    ~~> cli 13560    || cdvds 14317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-dvds 14318
This theorem is referenced by:  atantayl3  23877  leibpilem2  23879
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