MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserle Structured version   Unicode version

Theorem iserle 13250
Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iserle.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iserle.4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
iserle.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  B )
iserle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
iserle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
iserle.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
iserle  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, M    k, G    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iserle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iserle.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iserle.4 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  A )
4 iserle.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  B )
5 iserle.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 11947 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
76ffvelrnda 5947 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
8 iserle.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
91, 2, 8serfre 11947 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
109ffvelrnda 5947 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1211, 1syl6eleq 2550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ph )
14 elfzuz 11561 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514, 1syl6eleqr 2551 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  Z )
1615adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  k  e.  Z )
1713, 16, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1813, 16, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
19 iserle.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
2013, 16, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
2112, 17, 18, 20serle 11973 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq M (  +  ,  G ) `  j
) )
221, 2, 3, 4, 7, 10, 21climle 13230 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387    + caddc 9391    <_ cle 9525   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549    seqcseq 11918    ~~> cli 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-rlim 13080
This theorem is referenced by:  iserge0  13251  isumle  13420  ege2le3  13488
  Copyright terms: Public domain W3C validator