Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserex Structured version   Unicode version

Theorem iserex 13628
 Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1
iserex.2
iserex.3
Assertion
Ref Expression
iserex
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem iserex
StepHypRef Expression
1 seqeq1 12154 . . . . 5
21eleq1d 2471 . . . 4
32bicomd 201 . . 3
43a1i 11 . 2
5 simpll 752 . . . . . . 7
6 iserex.2 . . . . . . . . . . . 12
7 clim2ser.1 . . . . . . . . . . . 12
86, 7syl6eleq 2500 . . . . . . . . . . 11
9 eluzelz 11136 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10
1110zcnd 11009 . . . . . . . . 9
12 ax-1cn 9580 . . . . . . . . 9
13 npcan 9865 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13sylancl 660 . . . . . . . 8
1514seqeq1d 12157 . . . . . . 7
165, 15syl 17 . . . . . 6
17 simplr 754 . . . . . . . 8
1817, 7syl6eleqr 2501 . . . . . . 7
19 iserex.3 . . . . . . . 8
205, 19sylan 469 . . . . . . 7
21 simpr 459 . . . . . . . 8
22 climdm 13526 . . . . . . . 8
2321, 22sylib 196 . . . . . . 7
247, 18, 20, 23clim2ser 13626 . . . . . 6
2516, 24eqbrtrrd 4417 . . . . 5
26 climrel 13464 . . . . . 6
2726releldmi 5060 . . . . 5
2825, 27syl 17 . . . 4
29 simpr 459 . . . . . . . 8
3029, 7syl6eleqr 2501 . . . . . . 7
3130adantr 463 . . . . . 6
32 simpll 752 . . . . . . 7
3332, 19sylan 469 . . . . . 6
3432, 15syl 17 . . . . . . 7
35 simpr 459 . . . . . . . 8
36 climdm 13526 . . . . . . . 8
3735, 36sylib 196 . . . . . . 7
3834, 37eqbrtrd 4415 . . . . . 6
397, 31, 33, 38clim2ser2 13627 . . . . 5
4026releldmi 5060 . . . . 5
4139, 40syl 17 . . . 4
4228, 41impbida 833 . . 3
4342ex 432 . 2
44 uzm1 11157 . . 3
458, 44syl 17 . 2
464, 43, 45mpjaod 379 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   class class class wbr 4395   cdm 4823  cfv 5569  (class class class)co 6278  cc 9520  c1 9523   caddc 9525   cmin 9841  cz 10905  cuz 11127   cseq 12151   cli 13456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460 This theorem is referenced by:  isumsplit  13803  isumrpcl  13806  climcnds  13814  geolim2  13832  cvgrat  13844  mertenslem1  13845  mertenslem2  13846  mertens  13847  eftlcvg  14050  rpnnen2lem5  14161  prmreclem5  14647  prmreclem6  14648  dvradcnv  23108  abelthlem7  23125  log2tlbnd  23601  lgamgulmlem4  23687  cvgdvgrat  36042  binomcxplemnotnn0  36109
 Copyright terms: Public domain W3C validator