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Theorem isercolllem1 12413
Description: Lemma for isercoll 12416. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
isercoll.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
isercolllem1  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  ( G  |`  S )  Isom  <  ,  <  ( S , 
( G " S
) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, G    k, M
Allowed substitution hints:    S( k)    Z( k)

Proof of Theorem isercolllem1
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 uzssz 10461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3338 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
4 zssre 10245 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
53, 4sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  RR
6 isercoll.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
76ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  G : NN
--> Z )
8 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  e.  NN )
97, 8ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  x )  e.  Z
)
105, 9sseldi 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
11 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  NN )
1211nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  RR )
1310, 12resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  y )  e.  RR )
148nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  e.  RR )
1510, 14resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  x )  e.  RR )
167, 11ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  y )  e.  Z
)
175, 16sseldi 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
1817, 12resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  y )  -  y )  e.  RR )
19 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
2014, 12, 10, 19ltsub2dd 9595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  y )  < 
( ( G `  x )  -  x
) )
218nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ZZ )
2211nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ZZ )
2314, 12, 19ltled 9177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  <_  y )
24 eluz2 10450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  x
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <_ 
y ) )
2521, 22, 23, 24syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  x )
)
26 elfzuz 11011 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( x ... y )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)
27 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2827uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x ) )  -> 
k  e.  NN )
298, 28sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  k  e.  NN )
30 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
31 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
3230, 31oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 k )  -  k ) )
33 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n )  -  n ) )
34 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  k )  -  k )  e. 
_V
3532, 33, 34fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  k ) )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  k ) )
377ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  Z )
385, 37sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
39 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
4138, 40resubcld 9421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  -  k )  e.  RR )
4236, 41eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  e.  RR )
4329, 42syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  k )  e.  RR )
4426, 43sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( x ... y
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  e.  RR )
45 elfzuz 11011 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( x ... ( y  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)
46 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
47 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  Z
)
487, 46, 47syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  Z )
495, 48sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
50 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
52 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ph )
53 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
5452, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
553, 37sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
563, 48sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
57 zltlem1 10284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  ZZ  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( G `  k
)  <_  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 ) ) )
5855, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  <->  ( G `  k )  <_  (
( G `  (
k  +  1 ) )  -  1 ) ) )
5954, 58mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 ) )
6038, 51, 40, 59lesub1dd 9598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  -  k )  <_  ( ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 )  -  k ) )
6149recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
62 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6440recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
6561, 63, 64sub32d 9399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 )  -  k )  =  ( ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  k )  - 
1 ) )
6661, 64, 63subsub4d 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  k
)  -  1 )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
6765, 66eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 )  -  k )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
6860, 67breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  -  k )  <_  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
6946adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
70 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
71 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
7270, 71oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
73 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) )  e. 
_V
7472, 33, 73fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
7569, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
7668, 36, 753brtr4d 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
7729, 76syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
7845, 77sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( x ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
7925, 44, 78monoord 11308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  x )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n ) ) `
 y ) )
80 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  x  ->  ( G `  n )  =  ( G `  x ) )
81 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  x  ->  n  =  x )
8280, 81oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  x  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 x )  -  x ) )
83 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  x )  -  x )  e. 
_V
8482, 33, 83fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( G `  x )  -  x ) )
858, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  x )  =  ( ( G `
 x )  -  x ) )
86 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  ( G `  n )  =  ( G `  y ) )
87 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  n  =  y )
8886, 87oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 y )  -  y ) )
89 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  -  y )  e. 
_V
9088, 33, 89fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  y
)  =  ( ( G `  y )  -  y ) )
9111, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  y )  =  ( ( G `
 y )  -  y ) )
9279, 85, 913brtr3d 4201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  x )  <_  (
( G `  y
)  -  y ) )
9313, 15, 18, 20, 92ltletrd 9186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  y )  < 
( ( G `  y )  -  y
) )
9410, 17, 12ltsub1d 9591 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  <  ( G `  y
)  <->  ( ( G `
 x )  -  y )  <  (
( G `  y
)  -  y ) ) )
9593, 94mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)
9695ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) )
9796ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  (
x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y ) ) )
98 ssralv 3367 . . . . 5  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. y  e.  NN  (
x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y ) )  ->  A. y  e.  S  ( x  <  y  -> 
( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) ) )
9998ralimdv 2745 . . . 4  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)  ->  A. x  e.  NN  A. y  e.  S  ( x  < 
y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
100 ssralv 3367 . . . 4  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
10199, 100syld 42 . . 3  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
10297, 101mpan9 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  -> 
( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) )
103 nnssre 9960 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
104 ltso 9112 . . . . 5  |-  <  Or  RR
105 soss 4481 . . . . 5  |-  ( NN  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN ) )
106103, 104, 105mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  NN
107106a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  <  Or  NN )
108 soss 4481 . . . . 5  |-  ( Z 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  Z ) )
1095, 104, 108mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  Z
110109a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  <  Or  Z
)
1116adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  G : NN --> Z )
112 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  S  C_  NN )
113 soisores 6006 . . 3  |-  ( ( (  <  Or  NN  /\ 
<  Or  Z )  /\  ( G : NN --> Z  /\  S  C_  NN ) )  ->  (
( G  |`  S ) 
Isom  <  ,  <  ( S ,  ( G " S ) )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
114107, 110, 111, 112, 113syl22anc 1185 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  ( ( G  |`  S )  Isom  <  ,  <  ( S , 
( G " S
) )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
115102, 114mpbird 224 1  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  ( G  |`  S )  Isom  <  ,  <  ( S , 
( G " S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    Or wor 4462    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413    Isom wiso 5414  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  isercolllem2  12414  isercolllem3  12415  isercoll  12416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
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