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Theorem isercoll2 12417
Description: Generalize isercoll 12416 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll2.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
isercoll2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
isercoll2.g  |-  ( ph  ->  G : Z --> W )
isercoll2.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
isercoll2.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
isercoll2.f  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
isercoll2.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
isercoll2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    k, G, n    k, H, n   
n, N    k, M, n    ph, k, n    n, W    k, Z
Allowed substitution hints:    N( k)    W( k)    Z( n)

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isercoll2.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
4 zsubcl 10275 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 1  -  M
)  e.  ZZ )
53, 2, 4sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  M
)  e.  ZZ )
6 seqex 11280 . . . 4  |-  seq  M
(  +  ,  H
)  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  H )  e. 
_V )
8 seqex 11280 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )  e.  _V )
10 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2494 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
125adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  -  M )  e.  ZZ )
13 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ph )
14 elfzuz 11011 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... k )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514, 1syl6eleqr 2495 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... k )  ->  j  e.  Z )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1716, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
2019zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  CC )
212zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
2221adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  M  e.  CC )
23 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  1  e.  CC )
2520, 22, 24subadd23d 9389 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  -  M
)  +  1 )  =  ( j  +  ( 1  -  M
) ) )
26 uznn0sub 10473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  -  M )  e.  NN0 )
2717, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  -  M )  e.  NN0 )
28 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( j  -  M )  +  1 )  e.  NN )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
3025, 29eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN )
31 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) )
3231oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M
) )  -  1 ) ) )
3332fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
34 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
35 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M
) )  -  1 ) ) )  e. 
_V
3633, 34, 35fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  ( 1  -  M ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  ( 1  -  M ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
3825oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) )
3927nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  -  M )  e.  CC )
40 pncan 9267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  -  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4139, 23, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4238, 41eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4342oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) )  =  ( M  +  ( j  -  M
) ) )
4422, 20pncan3d 9370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( j  -  M ) )  =  j )
4543, 44eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) )  =  j )
4645fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) ) )  =  ( H `  j ) )
4737, 46eqtr2d 2437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  ( 1  -  M
) ) ) )
4813, 15, 47syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  j  e.  ( M ... k
) )  ->  ( H `  j )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  ( 1  -  M
) ) ) )
4911, 12, 48seqshft2 11304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  H ) `  k
)  =  (  seq  ( M  +  ( 1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5021adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  M  e.  CC )
51 pncan3 9269 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  ( 1  -  M ) )  =  1 )
5250, 23, 51sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( 1  -  M ) )  =  1 )
5352seqeq1d 11284 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  seq  ( M  +  (
1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )
5453fveq1d 5689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  ( M  +  ( 1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5549, 54eqtr2d 2437 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  H ) `  k
) )
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 12331 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )  ~~>  A ) )
57 isercoll2.w . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
58 isercoll2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
59 isercoll2.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Z --> W )
6059adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  G : Z
--> W )
61 uzid 10456 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
622, 61syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 nnm1nn0 10217 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  -  1 )  e.  NN0 )
64 uzaddcl 10489 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( x  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6562, 63, 64syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( M  +  ( x  - 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6665, 1syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( M  +  ( x  - 
1 ) )  e.  Z )
6760, 66ffvelrnd 5830 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) )  e.  W )
68 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
6967, 68fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) : NN --> W )
70 nnm1nn0 10217 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
71 uzaddcl 10489 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
j  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7262, 70, 71syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( j  - 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7372, 1syl6eleqr 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( j  - 
1 ) )  e.  Z )
74 isercoll2.i . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
7574ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
7675adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
77 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
78 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  =  ( ( M  +  ( j  - 
1 ) )  +  1 ) )
7978fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
8077, 79breq12d 4185 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
( G `  k
)  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  <->  ( G `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  <  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
8180rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) )  <  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
8273, 76, 81sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  < 
( G `  (
( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
83 nncn 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
8483adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
8523a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
8684, 85, 85addsubd 9388 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  ( ( j  - 
1 )  +  1 ) )
8786oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  -  1 )  +  1 ) ) )
8821adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
8970adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
9089nn0cnd 10232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
9188, 90, 85addassd 9066 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 )  =  ( M  +  ( ( j  -  1 )  +  1 ) ) )
9287, 91eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) )
9392fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( G `  (
( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
9482, 93breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  < 
( G `  ( M  +  ( (
j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
95 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
x  -  1 )  =  ( j  - 
1 ) )
9695oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )
9796fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
98 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  e. 
_V
9997, 68, 98fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
10099adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
101 peano2nn 9968 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
102101adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
103 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )
104103oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )
105104fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
106 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e. 
_V
107105, 68, 106fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
108102, 107syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
10994, 100, 1083brtr4d 4202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  <  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
110 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Z --> W  ->  G  Fn  Z )
11159, 110syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  Fn  Z )
112 uznn0sub 10473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
11311, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  -  M )  e.  NN0 )
114 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( k  -  M )  +  1 )  e.  NN )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
116113nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  -  M )  e.  CC )
117 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  -  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( k  -  M ) )
118116, 23, 117sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( k  -  M ) )
119118oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
( k  -  M
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M  +  ( k  -  M
) ) )
120 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
121120, 1eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
122121zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
123 pncan3 9269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( M  +  ( k  -  M ) )  =  k )
12421, 122, 123syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( k  -  M ) )  =  k )
125119, 124eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  =  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) )
126125fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )
127 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  - 
1 ) )
128127oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) )
129128fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )
130129eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
( G `  k
)  =  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) )  <->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
131130rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  -  M )  +  1 )  e.  NN  /\  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
132115, 126, 131syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )
133 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
13468elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  k )  e.  _V  ->  (
( G `  k
)  e.  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
136132, 135sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )
137136ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) )
138 ffnfv 5853 . . . . . . . 8  |-  ( G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( G  Fn  Z  /\  A. k  e.  Z  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )
139111, 137, 138sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
140 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ran  G  C_  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
141139, 140syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
142141sscond 3444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( W  \  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  C_  ( W  \  ran  G ) )
143142sselda 3308 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( W  \  ran  G ) )
144 isercoll2.0 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
145143, 144syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( F `  n
)  =  0 )
146 isercoll2.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
147 isercoll2.h . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
148147ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
149148adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
150 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
15177fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
152150, 151eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 ( G `  k ) )  <->  ( H `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) ) ) ) )
153152rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( H `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) ) ) ) )
15473, 149, 153sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
15596fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
156 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( H `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  e. 
_V
157155, 34, 156fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
158157adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
159100fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 j ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
160154, 158, 1593eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( F `  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) `  j ) ) )
16157, 58, 69, 109, 145, 146, 160isercoll 12416 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
16256, 161bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  iserodd  13164  stirlinglem5  27694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-hash 11574  df-shft 11837  df-clim 12237
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