Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercoll2 Unicode version

Theorem isercoll2 12417
 Description: Generalize isercoll 12416 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z
isercoll2.w
isercoll2.m
isercoll2.n
isercoll2.g
isercoll2.i
isercoll2.0
isercoll2.f
isercoll2.h
Assertion
Ref Expression
isercoll2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3
2 isercoll2.m . . 3
3 1z 10267 . . . 4
4 zsubcl 10275 . . . 4
53, 2, 4sylancr 645 . . 3
6 seqex 11280 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 seqex 11280 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 simpr 448 . . . . . 6
1110, 1syl6eleq 2494 . . . . 5
125adantr 452 . . . . 5
13 simpl 444 . . . . . 6
14 elfzuz 11011 . . . . . . 7
1514, 1syl6eleqr 2495 . . . . . 6
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
1716, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12
18 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019zcnd 10332 . . . . . . . . . 10
212zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11
2221adantr 452 . . . . . . . . . 10
23 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10
2520, 22, 24subadd23d 9389 . . . . . . . . 9
26 uznn0sub 10473 . . . . . . . . . . 11
2717, 26syl 16 . . . . . . . . . 10
28 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9
3025, 29eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8
31 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11
3231oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10
3332fveq2d 5691 . . . . . . . . 9
34 eqid 2404 . . . . . . . . 9
35 fvex 5701 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35fvmpt 5765 . . . . . . . 8
3730, 36syl 16 . . . . . . 7
3825oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11
3927nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . 12
40 pncan 9267 . . . . . . . . . . . 12
4139, 23, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
4238, 41eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10
4342oveq2d 6056 . . . . . . . . 9
4422, 20pncan3d 9370 . . . . . . . . 9
4543, 44eqtrd 2436 . . . . . . . 8
4645fveq2d 5691 . . . . . . 7
4737, 46eqtr2d 2437 . . . . . 6
4813, 15, 47syl2an 464 . . . . 5
4911, 12, 48seqshft2 11304 . . . 4
5021adantr 452 . . . . . . 7
51 pncan3 9269 . . . . . . 7
5250, 23, 51sylancl 644 . . . . . 6
5352seqeq1d 11284 . . . . 5
5453fveq1d 5689 . . . 4
5549, 54eqtr2d 2437 . . 3
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 12331 . 2
57 isercoll2.w . . 3
58 isercoll2.n . . 3
59 isercoll2.g . . . . . 6
6059adantr 452 . . . . 5
61 uzid 10456 . . . . . . . 8
622, 61syl 16 . . . . . . 7
63 nnm1nn0 10217 . . . . . . 7
64 uzaddcl 10489 . . . . . . 7
6562, 63, 64syl2an 464 . . . . . 6
6665, 1syl6eleqr 2495 . . . . 5
6760, 66ffvelrnd 5830 . . . 4
68 eqid 2404 . . . 4
6967, 68fmptd 5852 . . 3
70 nnm1nn0 10217 . . . . . . . 8
71 uzaddcl 10489 . . . . . . . 8
7262, 70, 71syl2an 464 . . . . . . 7
7372, 1syl6eleqr 2495 . . . . . 6
74 isercoll2.i . . . . . . . 8
7574ralrimiva 2749 . . . . . . 7
7675adantr 452 . . . . . 6
77 fveq2 5687 . . . . . . . 8
78 oveq1 6047 . . . . . . . . 9
7978fveq2d 5691 . . . . . . . 8
8077, 79breq12d 4185 . . . . . . 7
8180rspcv 3008 . . . . . 6
8273, 76, 81sylc 58 . . . . 5
83 nncn 9964 . . . . . . . . . 10
8483adantl 453 . . . . . . . . 9
8523a1i 11 . . . . . . . . 9
8684, 85, 85addsubd 9388 . . . . . . . 8
8786oveq2d 6056 . . . . . . 7
8821adantr 452 . . . . . . . 8
8970adantl 453 . . . . . . . . 9
9089nn0cnd 10232 . . . . . . . 8
9188, 90, 85addassd 9066 . . . . . . 7
9287, 91eqtr4d 2439 . . . . . 6
9392fveq2d 5691 . . . . 5
9482, 93breqtrrd 4198 . . . 4
95 oveq1 6047 . . . . . . . 8
9695oveq2d 6056 . . . . . . 7
9796fveq2d 5691 . . . . . 6
98 fvex 5701 . . . . . 6
9997, 68, 98fvmpt 5765 . . . . 5
10099adantl 453 . . . 4
101 peano2nn 9968 . . . . . 6
102101adantl 453 . . . . 5
103 oveq1 6047 . . . . . . . 8
104103oveq2d 6056 . . . . . . 7
105104fveq2d 5691 . . . . . 6
106 fvex 5701 . . . . . 6
107105, 68, 106fvmpt 5765 . . . . 5
108102, 107syl 16 . . . 4
10994, 100, 1083brtr4d 4202 . . 3
110 ffn 5550 . . . . . . . . 9
11159, 110syl 16 . . . . . . . 8
112 uznn0sub 10473 . . . . . . . . . . . . 13
11311, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12
114 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . 12
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . 11
116113nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . 15
118116, 23, 117sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
119118oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13
120 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120, 1eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14
123 pncan3 9269 . . . . . . . . . . . . . 14
12421, 122, 123syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
125119, 124eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . 12
126125fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11
127 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14
129128fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13
130129eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12
131130rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11
132115, 126, 131syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
133 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11
13468elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . 11
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
136132, 135sylibr 204 . . . . . . . . 9
137136ralrimiva 2749 . . . . . . . 8
138 ffnfv 5853 . . . . . . . 8
139111, 137, 138sylanbrc 646 . . . . . . 7
140 frn 5556 . . . . . . 7
141139, 140syl 16 . . . . . 6
142141sscond 3444 . . . . 5
143142sselda 3308 . . . 4
144 isercoll2.0 . . . 4
145143, 144syldan 457 . . 3
146 isercoll2.f . . 3
147 isercoll2.h . . . . . . 7
148147ralrimiva 2749 . . . . . 6
149148adantr 452 . . . . 5
150 fveq2 5687 . . . . . . 7
15177fveq2d 5691 . . . . . . 7
152150, 151eqeq12d 2418 . . . . . 6
153152rspcv 3008 . . . . 5
15473, 149, 153sylc 58 . . . 4
15596fveq2d 5691 . . . . . 6
156 fvex 5701 . . . . . 6
157155, 34, 156fvmpt 5765 . . . . 5
158157adantl 453 . . . 4
159100fveq2d 5691 . . . 4
160154, 158, 1593eqtr4d 2446 . . 3
16157, 58, 69, 109, 145, 146, 160isercoll 12416 . 2
16256, 161bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   cdif 3277   wss 3280   class class class wbr 4172   cmpt 4226   crn 4838   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   clt 9076   cmin 9247  cn 9956  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  cfz 10999   cseq 11278   cli 12233 This theorem is referenced by:  iserodd  13164  stirlinglem5  27694 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-hash 11574  df-shft 11837  df-clim 12237
 Copyright terms: Public domain W3C validator