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Theorem iseraltlem3 13508
Description: Lemma for iseralt 13509. From iseraltlem2 13507, we have  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n ) and  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 ), and we also have  ( -u 1 ^ n )  x.  S
( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 ) for each  n by the definition of the partial sum  S, so combining the inequalities we get  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  -  G ( n  + 
2 k  +  1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  +  G ( n  +  1 ), so  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  S ( n )  |  <_  G (
n  +  1 ) and  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k )  -  S ( n )  |  <_  G ( n  +  1 ). Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if  G converges to  0. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem3
StepHypRef Expression
1 neg1rr 10557 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
3 neg1ne0 10558 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0
)
5 iseralt.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 uzssz 11020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
75, 6eqsstri 3447 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
8 simp2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Z
)
97, 8sseldi 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
102, 4, 9reexpclzd 12237 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
1110recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
12 iseralt.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 iseralt.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  e.  RR )
153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  =/=  0 )
16 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
177, 16sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
1814, 15, 17reexpclzd 12237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
19 iseralt.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
2019ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
2118, 20remulcld 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
2213, 21eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
235, 12, 22serfre 12039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
24233ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
258, 5syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
26 2nn0 10729 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 simp3 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
28 nn0mulcl 10749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  K
)  e.  NN0 )
2926, 27, 28sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  NN0 )
30 uzaddcl 11057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  K )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3125, 29, 30syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3231, 5syl6eleqr 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  Z
)
3324, 32ffvelrnd 5934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  RR )
3433recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  CC )
3524, 8ffvelrnd 5934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  RR )
3635recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  CC )
3711, 34, 36subdid 9930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
3837fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3933, 35resubcld 9905 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
4039recnd 9533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
4111, 40absmuld 13287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
4238, 41eqtr3d 2425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
432recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
44 absexpz 13140 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
4543, 4, 9, 44syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
46 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4746absnegi 13234 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
48 abs1 13132 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
4947, 48eqtri 2411 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
5049oveq1i 6206 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  -u 1
) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
51 1exp 12098 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
529, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
5350, 52syl5eq 2435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  -u 1 ) ^ N )  =  1 )
5445, 53eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
5554oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
5640abscld 13269 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
5756recnd 9533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
5857mulid2d 9525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
5942, 55, 583eqtrd 2427 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
6010, 35remulcld 9535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
)  e.  RR )
61193ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
625peano2uzs 11055 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Z  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
63623ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  Z
)
6461, 63ffvelrnd 5934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  RR )
6560, 64resubcld 9905 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
665peano2uzs 11055 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  Z  ->  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )
6732, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z
)
6824, 67ffvelrnd 5934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  RR )
6910, 68remulcld 9535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
7010, 33remulcld 9535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  e.  RR )
71 seqp1 12025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  +  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
7225, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
7313ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
74733ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
75 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
76 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) ) )
77 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
7876, 77oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
7975, 78eqeq12d 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8079rspcv 3131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8163, 74, 80sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N  +  1
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
8281oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8343, 4, 9expp1zd 12221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  -u 1
) )
84 neg1cn 10556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
85 mulcom 9489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1 ^ N )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
8611, 84, 85sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
8711mulm1d 9926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
8883, 86, 873eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
8988oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9064recnd 9533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  CC )
9111, 90mulneg1d 9927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9289, 91eqtrd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9392oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  +  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9472, 82, 933eqtrd 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9510, 64remulcld 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
9695recnd 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  CC )
9736, 96negsubd 9850 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9894, 97eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9998oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
10011, 36, 96subdid 9930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
1019zcnd 10885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
1021012timesd 10698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
103102oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  N
) ) )
104 2z 10813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
106 expmulz 12115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
10743, 4, 105, 9, 106syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
108103, 107eqtr3d 2425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
109 neg1sqe1 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
110109oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
111108, 110syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( 1 ^ N
) )
112 expaddz 12113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -u 1 ^ ( N  +  N )
)  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) ) )
11343, 4, 9, 9, 112syl22anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
114111, 113, 523eqtr3d 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
115114oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
11611, 11, 90mulassd 9530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) ) )
11790mulid2d 9525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
118115, 116, 1173eqtr3d 2431 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
119118oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
12099, 100, 1193eqtrd 2427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
121 iseralt.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
122 iseralt.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
1235, 12, 19, 121, 122, 13iseraltlem2 13507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
12462, 123syl3an2 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
125 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
12629nn0cnd 10771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  CC )
127101, 125, 126add32d 9715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )
128127fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) )  =  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
12988, 128oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
13088oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
131124, 129, 1303brtr3d 4396 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
13268recnd 9533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  CC )
13311, 132mulneg1d 9927 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
13424, 63ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
135134recnd 9533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13611, 135mulneg1d 9927 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
137131, 133, 1363brtr3d 4396 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
13810, 134remulcld 9535 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
139138, 69lenegd 10048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <->  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
140137, 139mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
141120, 140eqbrtrrd 4389 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
142 seqp1 12025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
14331, 142syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
144 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
145 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
146 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
147145, 146oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
148144, 147eqeq12d 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
149148rspcv 3131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
15067, 74, 149sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
1517, 63sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
15229nn0zd 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  ZZ )
153 expaddz 12113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
15443, 4, 151, 152, 153syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
15527nn0zd 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
156 expmulz 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
15743, 4, 105, 155, 156syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
158109oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ K )  =  ( 1 ^ K )
159 1exp 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ K )  =  1 )
160155, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ K )  =  1 )
161158, 160syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ K )  =  1 )
162157, 161eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  1 )
16388, 162oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 ) )
164154, 163eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  1 ) )
165127oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
16611negcld 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
167166mulid1d 9524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
168164, 165, 1673eqtr3d 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
169168oveq1d 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
17061, 67ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  RR )
171170recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  CC )
17211, 171mulneg1d 9927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
173150, 169, 1723eqtrd 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
174173oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
17510, 170remulcld 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
176175recnd 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  CC )
17734, 176negsubd 9850 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
178143, 174, 1773eqtrd 2427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
179178oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
18011, 34, 176subdid 9930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
181114oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
18211, 11, 171mulassd 9530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) ) )
183171mulid2d 9525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
184181, 182, 1833eqtr3d 2431 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
185184oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
186179, 180, 1853eqtrd 2427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
187 simp1 994 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ph )
1885, 12, 19, 121, 122iseraltlem1 13506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
189187, 67, 188syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
19070, 170subge02d 10061 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  <->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) ) )
191189, 190mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
192186, 191eqbrtrd 4387 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
19365, 69, 70, 141, 192letrd 9650 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
19460, 64readdcld 9534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
1955, 12, 19, 121, 122, 13iseraltlem2 13507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
1965, 12, 19, 121, 122iseraltlem1 13506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
197187, 63, 196syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
19860, 64addge01d 10057 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
199197, 198mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
20070, 60, 194, 195, 199letrd 9650 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
20170, 60, 64absdifled 13268 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
202193, 200, 201mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) ) )
20359, 202eqbrtrrd 4389 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
20411, 132, 36subdid 9930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
205204fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
20668, 35resubcld 9905 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
207206recnd 9533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
20811, 207absmuld 13287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
209205, 208eqtr3d 2425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
21054oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
211207abscld 13269 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
212211recnd 9533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
213212mulid2d 9525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
214209, 210, 2133eqtrd 2427 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
21569, 70, 194, 192, 200letrd 9650 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
21669, 60, 64absdifled 13268 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
217141, 215, 216mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) ) )
218214, 217eqbrtrrd 4389 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
219203, 218jca 530 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   class class class wbr 4367   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001    seqcseq 12010   ^cexp 12069   abscabs 13069    ~~> cli 13309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314
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