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Theorem iseraltlem3 13164
Description: Lemma for iseralt 13165. From iseraltlem2 13163, we have  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n ) and  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 ), and we also have  ( -u 1 ^ n )  x.  S
( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 ) for each  n by the definition of the partial sum  S, so combining the inequalities we get  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  -  G ( n  + 
2 k  +  1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  +  G ( n  +  1 ), so  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  S ( n )  |  <_  G (
n  +  1 ) and  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k )  -  S ( n )  |  <_  G ( n  +  1 ). Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if  G converges to  0. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem3
StepHypRef Expression
1 neg1rr 10429 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
3 neg1ne0 10430 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0
)
5 iseralt.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 uzssz 10883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
75, 6eqsstri 3389 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
8 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Z
)
97, 8sseldi 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
102, 4, 9reexpclzd 12036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
1110recnd 9415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
12 iseralt.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 iseralt.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  e.  RR )
153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  =/=  0 )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
177, 16sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
1814, 15, 17reexpclzd 12036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
19 iseralt.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
2019ffvelrnda 5846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
2118, 20remulcld 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
2213, 21eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
235, 12, 22serfre 11838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
24233ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
258, 5syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
26 2nn0 10599 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
28 nn0mulcl 10619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  K
)  e.  NN0 )
2926, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  NN0 )
30 uzaddcl 10914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  K )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3125, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3231, 5syl6eleqr 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  Z
)
3324, 32ffvelrnd 5847 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  RR )
3433recnd 9415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  CC )
3524, 8ffvelrnd 5847 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  RR )
3635recnd 9415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  CC )
3711, 34, 36subdid 9803 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
3837fveq2d 5698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3933, 35resubcld 9779 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
4039recnd 9415 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
4111, 40absmuld 12943 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
4238, 41eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
432recnd 9415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
44 absexpz 12797 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
4543, 4, 9, 44syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
46 ax-1cn 9343 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4746absnegi 12890 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
48 abs1 12789 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
4947, 48eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
5049oveq1i 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  -u 1
) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
51 1exp 11896 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
529, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
5350, 52syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  -u 1 ) ^ N )  =  1 )
5445, 53eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
5554oveq1d 6109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
5640abscld 12925 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
5756recnd 9415 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
5857mulid2d 9407 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
5942, 55, 583eqtrd 2479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
6010, 35remulcld 9417 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
)  e.  RR )
61193ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
625peano2uzs 10912 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Z  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
63623ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  Z
)
6461, 63ffvelrnd 5847 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  RR )
6560, 64resubcld 9779 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
665peano2uzs 10912 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  Z  ->  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )
6732, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z
)
6824, 67ffvelrnd 5847 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  RR )
6910, 68remulcld 9417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
7010, 33remulcld 9417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  e.  RR )
71 seqp1 11824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  +  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
7225, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
7313ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
74733ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
75 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
76 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) ) )
77 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
7876, 77oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
7975, 78eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8079rspcv 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8163, 74, 80sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N  +  1
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
8281oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8343, 4, 9expp1zd 12020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  -u 1
) )
84 neg1cn 10428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
85 mulcom 9371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1 ^ N )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
8611, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
8711mulm1d 9799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
8883, 86, 873eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
8988oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9064recnd 9415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  CC )
9111, 90mulneg1d 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9289, 91eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9392oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  +  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9472, 82, 933eqtrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9510, 64remulcld 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
9695recnd 9415 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  CC )
9736, 96negsubd 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9894, 97eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9998oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
10011, 36, 96subdid 9803 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
1019zcnd 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
1021012timesd 10570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
103102oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  N
) ) )
104 2z 10681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
106 expmulz 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
10743, 4, 105, 9, 106syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
108103, 107eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
109 neg1sqe1 11964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
110109oveq1i 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
111108, 110syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( 1 ^ N
) )
112 expaddz 11911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -u 1 ^ ( N  +  N )
)  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) ) )
11343, 4, 9, 9, 112syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
114111, 113, 523eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
115114oveq1d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
11611, 11, 90mulassd 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) ) )
11790mulid2d 9407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
118115, 116, 1173eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
119118oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
12099, 100, 1193eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
121 iseralt.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
122 iseralt.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
1235, 12, 19, 121, 122, 13iseraltlem2 13163 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
12462, 123syl3an2 1252 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
12546a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
12629nn0cnd 10641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  CC )
127101, 125, 126add32d 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )
128127fveq2d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) )  =  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
12988, 128oveq12d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
13088oveq1d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
131124, 129, 1303brtr3d 4324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
13268recnd 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  CC )
13311, 132mulneg1d 9800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
13424, 63ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
135134recnd 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13611, 135mulneg1d 9800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
137131, 133, 1363brtr3d 4324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
13810, 134remulcld 9417 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
139138, 69lenegd 9921 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <->  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
140137, 139mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
141120, 140eqbrtrrd 4317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
142 seqp1 11824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
14331, 142syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
144 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
145 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
146 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
147145, 146oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
148144, 147eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
149148rspcv 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
15067, 74, 149sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
1517, 63sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
15229nn0zd 10748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  ZZ )
153 expaddz 11911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
15443, 4, 151, 152, 153syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
15527nn0zd 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
156 expmulz 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
15743, 4, 105, 155, 156syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
158109oveq1i 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ K )  =  ( 1 ^ K )
159 1exp 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ K )  =  1 )
160155, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ K )  =  1 )
161158, 160syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ K )  =  1 )
162157, 161eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  1 )
16388, 162oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 ) )
164154, 163eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  1 ) )
165127oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
16611negcld 9709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
167166mulid1d 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
168164, 165, 1673eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
169168oveq1d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
17061, 67ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  RR )
171170recnd 9415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  CC )
17211, 171mulneg1d 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
173150, 169, 1723eqtrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
174173oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
17510, 170remulcld 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
176175recnd 9415 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  CC )
17734, 176negsubd 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
178143, 174, 1773eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
179178oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
18011, 34, 176subdid 9803 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
181114oveq1d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
18211, 11, 171mulassd 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) ) )
183171mulid2d 9407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
184181, 182, 1833eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
185184oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
186179, 180, 1853eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
187 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ph )
1885, 12, 19, 121, 122iseraltlem1 13162 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
189187, 67, 188syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
19070, 170subge02d 9934 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  <->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) ) )
191189, 190mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
192186, 191eqbrtrd 4315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
19365, 69, 70, 141, 192letrd 9531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
19460, 64readdcld 9416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
1955, 12, 19, 121, 122, 13iseraltlem2 13163 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
1965, 12, 19, 121, 122iseraltlem1 13162 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
197187, 63, 196syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
19860, 64addge01d 9930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
199197, 198mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
20070, 60, 194, 195, 199letrd 9531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
20170, 60, 64absdifled 12924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
202193, 200, 201mpbir2and 913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) ) )
20359, 202eqbrtrrd 4317 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
20411, 132, 36subdid 9803 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
205204fveq2d 5698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
20668, 35resubcld 9779 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
207206recnd 9415 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
20811, 207absmuld 12943 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
209205, 208eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
21054oveq1d 6109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
211207abscld 12925 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
212211recnd 9415 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
213212mulid2d 9407 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
214209, 210, 2133eqtrd 2479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
21569, 70, 194, 192, 200letrd 9531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
21669, 60, 64absdifled 12924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
217141, 215, 216mpbir2and 913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) ) )
218214, 217eqbrtrrd 4317 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
219203, 218jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   class class class wbr 4295   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    <_ cle 9422    - cmin 9598   -ucneg 9599   2c2 10374   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864    seqcseq 11809   ^cexp 11868   abscabs 12726    ~~> cli 12965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-fz 11441  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-rlim 12970
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