Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Unicode version

Theorem iseraltlem1 13470
 Description: Lemma for iseralt 13473. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4
iseralt.5
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2
2 eluzelz 11092 . . . 4
3 iseralt.1 . . . 4
42, 3eleq2s 2575 . . 3
6 iseralt.5 . . 3
8 iseralt.3 . . . . 5
98ffvelrnda 6022 . . . 4
109recnd 9623 . . 3
11 1z 10895 . . 3
12 uzssz 11102 . . . 4
13 zex 10874 . . . 4
1412, 13climconst2 13337 . . 3
1510, 11, 14sylancl 662 . 2
173uztrn2 11100 . . . 4
1916, 18ffvelrnd 6023 . 2
20 eluzelz 11092 . . . . 5
2120adantl 466 . . . 4
22 fvex 5876 . . . . 5
2322fvconst2 6117 . . . 4
2421, 23syl 16 . . 3
2624, 25eqeltrd 2555 . 2
27 simpr 461 . . . 4
2816adantr 465 . . . . 5
29 simplr 754 . . . . . 6
30 elfzuz 11685 . . . . . 6
313uztrn2 11100 . . . . . 6
3229, 30, 31syl2an 477 . . . . 5
3328, 32ffvelrnd 6023 . . . 4
34 simpl 457 . . . . 5
35 elfzuz 11685 . . . . 5
3631adantll 713 . . . . . 6
37 iseralt.4 . . . . . . 7
3837adantlr 714 . . . . . 6
3936, 38syldan 470 . . . . 5
4034, 35, 39syl2an 477 . . . 4
4127, 33, 40monoord2 12107 . . 3
4241, 24breqtrrd 4473 . 2
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 13428 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  csn 4027   class class class wbr 4447   cxp 4997  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285  cc 9491  cr 9492  cc0 9493  c1 9494   caddc 9496   cle 9630   cmin 9806  cz 10865  cuz 11083  cfz 11673   cli 13273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278 This theorem is referenced by:  iseraltlem3  13472  iseralt  13473
 Copyright terms: Public domain W3C validator