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Theorem iseralt 12433
 Description: The alternating series test. If is a decreasing sequence that converges to , then is a convergent series. (Note that the first term is positive if is even, and negative if is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by using isermulc2 12406.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4
iseralt.5
iseralt.6
Assertion
Ref Expression
iseralt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2
2 seqex 11280 . . 3
32a1i 11 . 2
4 iseralt.5 . . . 4
5 iseralt.2 . . . . 5
6 climrel 12241 . . . . . . 7
76brrelexi 4877 . . . . . 6
84, 7syl 16 . . . . 5
9 eqidd 2405 . . . . 5
10 iseralt.3 . . . . . . 7
1110ffvelrnda 5829 . . . . . 6
1211recnd 9070 . . . . 5
131, 5, 8, 9, 12clim0c 12256 . . . 4
144, 13mpbid 202 . . 3
15 simpr 448 . . . . . . . . 9
1615, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . 8
17 eluzelz 10452 . . . . . . . 8
18 uzid 10456 . . . . . . . 8
1916, 17, 183syl 19 . . . . . . 7
20 peano2uz 10486 . . . . . . 7
21 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
2221fveq2d 5691 . . . . . . . . 9
2322breq1d 4182 . . . . . . . 8
2423rspcv 3008 . . . . . . 7
2519, 20, 243syl 19 . . . . . 6
26 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2726ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2827zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2917, 1eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3029ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3130zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3228, 31subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
35 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3732, 34, 36divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3931, 28pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4038, 39eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
45 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4927, 30zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5049zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5251ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5327zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5430zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5553, 54subge0d 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5652, 55mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 divge0 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6250, 56, 58, 60, 61syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 elnn0z 10250 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6548, 63, 64sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
681, 5, 10, 66, 4, 67iseraltlem3 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15
7045, 47, 65, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
7144, 70eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13
7233, 35dividi 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7372oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74 peano2cn 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7532, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7675, 34, 34, 36divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
77 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7877oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
79 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8132, 80, 80pnpcan2d 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8278, 81syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8382oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8476, 83eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8573, 84syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8685oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
87 subcl 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8832, 79, 87sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8988, 34, 36divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9028, 31, 80sub32d 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9186, 89, 903eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9291oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
93 subcl 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9428, 79, 93sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9531, 94pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9692, 95eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9796oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9928, 79, 98sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10097, 99eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
105 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
10646ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108 uznn0sub 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109108ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112111nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112rphalfcld 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114113rpgt0d 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 elnnz 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117107, 115, 116sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
1201, 5, 10, 66, 4, 67iseraltlem3 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15
122105, 106, 119, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
123104, 122eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13
124 zeo 10311 . . . . . . . . . . . . . 14
12549, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
12671, 123, 125mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . 12
1271peano2uzs 10487 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
129 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . 14
13010, 128, 129syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
1311, 5, 10, 66, 4iseraltlem1 12430 . . . . . . . . . . . . . 14
132128, 131sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13
133130, 132absidd 12180 . . . . . . . . . . . 12
134126, 133breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11
135134adantlr 696 . . . . . . . . . 10
136 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137136renegcli 9318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14079, 139negne0i 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
143142, 1eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144143adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145138, 141, 144reexpclzd 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14610ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147145, 146remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14867, 147eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1491, 5, 148serfre 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1501uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152149, 150, 151syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154149, 46, 153syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
155152, 154resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . 14
156155recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13
157156abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12
158157adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
159133, 130eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12
160159adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
161 rpre 10574 . . . . . . . . . . . 12
162161ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11
163 lelttr 9121 . . . . . . . . . . 11
164158, 160, 162, 163syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
165135, 164mpand 657 . . . . . . . . 9
166149adantr 452 . . . . . . . . . 10
167166, 150, 151syl2an 464 . . . . . . . . 9
168165, 167jctild 528 . . . . . . . 8
169168anassrs 630 . . . . . . 7
170169ralrimdva 2756 . . . . . 6
17125, 170syld 42 . . . . 5
172171reximdva 2778 . . . 4
173172ralimdva 2744 . . 3
17414, 173mpd 15 . 2
1751, 3, 174caurcvg2 12426 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   class class class wbr 4172   cdm 4837  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247  cneg 9248   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  crp 10568   cseq 11278  cexp 11337  cabs 11994   cli 12233 This theorem is referenced by:  leibpi  20735 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238
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