Theorem isepic 15173

Description: The predicate "is an epimorphism" when the morphism belongs to a homset.

Hypotheses

Ref	Expression
isepic.1	|- O = dom (id` T)
isepic.2	|- H = ( hom ` T)
isepic.3	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
isepic	|- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (F e. ( Epi ` T) <-> A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h)))

Distinct variable groups:   A,c,g,h   B,c,g,h   F,c,g,h   H,c,g,h   O,c,g,h   R,c   T,c,g,h

Proof of Theorem isepic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
2		eqid 1884	. . . 4 |- (dom` T) = (dom` T)
3		eqid 1884	. . . 4 |- (cod` T) = (cod` T)
4		isepic.3	. . . 4 |- R = (o` T)
5	1, 2, 3, 4	isepib 15169	. . 3 |- ((T e. Cat /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (F e. ( Epi ` T) <-> (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
6	5	3adant2 895	. 2 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (F e. ( Epi ` T) <-> (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
7		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) -> A.g((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O))
8		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (F e. dom (dom` T) -> A.g F e. dom (dom` T))
9		hbra1 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> A.gA.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
10	8, 9	hban 1356	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) -> A.g(F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
11	7, 10	hban 1356	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> A.g(((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
12		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) -> A.h((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O))
13		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F e. dom (dom` T) -> A.h F e. dom (dom` T))
14		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (g e. dom (dom` T) -> A.h g e. dom (dom` T))
15		hbra1 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> A.hA.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
16	14, 15	hbral 2146	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> A.hA.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
17	13, 16	hban 1356	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) -> A.h(F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
18	12, 17	hban 1356	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> A.h(((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
19		ra42 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> ((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> ((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
20		pm3.31 376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> ((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) -> (((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) /\ (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
21		simpll1 915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> T e. Cat )
22		simp2r 903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> B e. O)
23	22	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> B e. O)
24		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> c e. O)
25		isepic.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- O = dom (id` T)
26		isepic.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- H = ( hom ` T)
27	25, 1, 2, 3, 26	ishomd 15139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ c e. O) -> (g e. (H` <.B, c>.) <-> (g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c)))
28	27	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ c e. O) -> (g e. (H` <.B, c>.) -> (g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c)))
29	25, 1, 2, 3, 26	ishomd 15139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ c e. O) -> (h e. (H` <.B, c>.) <-> (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)))
30	29	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ c e. O) -> (h e. (H` <.B, c>.) -> (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)))
31	28, 30	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ c e. O) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c))))
32	21, 23, 24, 31	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c))))
33		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) -> g e. dom (dom` T))
34		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c) -> h e. dom (dom` T))
35	33, 34	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)))
36	35	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))))
37	25, 3, 26	cehm 15142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> ((cod` T)` F) = B))
38		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((((cod` T)` g) = c /\ c = ((cod` T)` h)) -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h))
39	38	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (c = ((cod` T)` h) -> (((cod` T)` g) = c -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h)))
40	39	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((cod` T)` h) = c -> (((cod` T)` g) = c -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h)))
41	40	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c) -> (((cod` T)` g) = c -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h)))
42	41	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((cod` T)` g) = c -> ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c) -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h)))
43	42	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) -> ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c) -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h)))
44	43	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h))
45	44	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((cod` T)` F) = B /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c))) -> ((cod` T)` g) = ((cod` T)` h))
46		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((((dom` T)` g) = B /\ B = ((cod` T)` F)) -> ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F))
47	46	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (B = ((cod` T)` F) -> (((dom` T)` g) = B -> ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F)))
48	47	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((cod` T)` F) = B -> (((dom` T)` g) = B -> ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F)))
49	48	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((dom` T)` g) = B -> (((cod` T)` F) = B -> ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F)))
50	49	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) -> (((cod` T)` F) = B -> ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F)))
51	50	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (((cod` T)` F) = B -> ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F)))
52	51	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((cod` T)` F) = B /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c))) -> ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F))
53		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((((dom` T)` h) = B /\ B = ((cod` T)` F)) -> ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))
54	53	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (B = ((cod` T)` F) -> (((dom` T)` h) = B -> ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))
55	54	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((cod` T)` F) = B -> (((dom` T)` h) = B -> ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))
56	55	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((dom` T)` h) = B -> (((cod` T)` F) = B -> ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))
57	56	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c) -> (((cod` T)` F) = B -> ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))
58	57	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (((cod` T)` F) = B -> ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))
59	58	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((cod` T)` F) = B /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c))) -> ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))
60	45, 52, 59	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((cod` T)` F) = B /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c))) -> (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))
61	60	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((cod` T)` F) = B -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))))
62	37, 61	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))))
63	62	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (T e. Cat -> ((A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))))))
64	63	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))))
65	64	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))))
66	36, 65	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = B /\ ((cod` T)` g) = c) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = B /\ ((cod` T)` h) = c)) -> ((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) /\ (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))))
67	32, 66	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) /\ (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)))))
68	67	imim1d 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ F e. dom (dom` T)) -> ((((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) /\ (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
69	68	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) -> (F e. dom (dom` T) -> ((((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) /\ (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
70	69	com13 37	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) /\ (((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F))) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> (F e. dom (dom` T) -> (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
71	19, 20, 70	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) -> (F e. dom (dom` T) -> (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
72	71	impcom 378	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) -> (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
73	72	impcom 378	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> ((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
74	18, 73	19.21ai 1345	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> A.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
75	11, 74	19.21ai 1345	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ c e. O) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
76	75	exp31 407	. . . . . . . 8 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (c e. O -> ((F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) -> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
77	76	com23 36	. . . . . . 7 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> ((F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) -> (c e. O -> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
78	77	imp 377	. . . . . 6 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> (c e. O -> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
79	78	19.21aiv 1664	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> A.c(c e. O -> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
80		r2al 2136	. . . . . . 7 |- (A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h) <-> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
81	80	ralbii 2127	. . . . . 6 |- (A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h) <-> A.c e. O A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))
82		df-ral 2109	. . . . . 6 |- (A.c e. O A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)) <-> A.c(c e. O -> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
83	81, 82	bitri 190	. . . . 5 |- (A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h) <-> A.c(c e. O -> A.gA.h((g e. (H` <.B, c>.) /\ h e. (H` <.B, c>.)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))))
84	79, 83	sylibr 217	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) /\ (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))) -> A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h))
85	84	ex 402	. . 3 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> ((F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) -> A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h)))
86	25, 26, 4	iepiclem 15172	. . 3 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h) -> (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h)))))
87	85, 86	impbid 574	. 2 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> ((F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((cod` T)` g) = ((cod` T)` h) /\ ((dom` T)` g) = ((cod` T)` F) /\ ((dom` T)` h) = ((cod` T)` F)) -> ((gRF) = (hRF) -> g = h))) <-> A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h)))
88	6, 87	bitrd 587	1 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (F e. ( Epi ` T) <-> A.c e. O A.g e. (H` <.B, c>.)A.h e. (H` <.B, c>.)((gRF) = (hRF) -> g = h)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Cat ccat 15099   hom chom 15134   Epi cepi 15152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100  df-hom 15135  df-epi 15156

Copyright terms: Public domain