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Theorem isepi2 14997
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, h, H, z    .x. , g, h, z    g, X, h, z    g, F, h, z    ph, g, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    C( h)    E( z,
g, h)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
3 isepi.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 isepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
5 isepi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 14996 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
95ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
106ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  X  e.  B )
117ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  Y  e.  B )
12 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  z  e.  B )
13 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
14 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  g  e.  ( Y H z ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 14940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1615anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  ( Y H z ) )  ->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1716ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( Y H z ) ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
18 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
1918fmpt 6042 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  <-> 
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) )
20 df-f1 5593 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( (
g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2120baib 901 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  ->  (
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2219, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
23 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2418, 23f1mpt 6157 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  /\  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 901 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2900 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   <.cop 4033    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   Fun wfun 5582   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   Hom chom 14566  compcco 14567   Catccat 14919  Epicepi 14985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-hom 14579  df-cco 14580  df-cat 14923  df-cid 14924  df-oppc 14968  df-mon 14986  df-epi 14987
This theorem is referenced by:  setcepi  15273
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