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Theorem isepi2 15232
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, h, H, z    .x. , g, h, z    g, X, h, z    g, F, h, z    ph, g, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    C( h)    E( z,
g, h)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
3 isepi.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 isepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
5 isepi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 15231 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
95ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
106ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  X  e.  B )
117ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  Y  e.  B )
12 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  z  e.  B )
13 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
14 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  g  e.  ( Y H z ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 15177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1615anassrs 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  ( Y H z ) )  ->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1716ralrimiva 2868 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( Y H z ) ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
18 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
1918fmpt 6028 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  <-> 
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) )
20 df-f1 5575 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( (
g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2120baib 901 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  ->  (
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2219, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
23 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2418, 23f1mpt 6144 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  /\  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 901 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 639 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   <.cop 4022    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   Fun wfun 5564   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   Hom chom 14798  compcco 14799   Catccat 15156  Epicepi 15220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-hom 14811  df-cco 14812  df-cat 15160  df-cid 15161  df-oppc 15203  df-mon 15221  df-epi 15222
This theorem is referenced by:  setcepi  15569
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