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Theorem isepi2 13922
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, h, H, z    .x. , g, h, z    g, X, h, z    g, F, h, z    ph, g, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    C( h)    E( z,
g, h)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 isepi.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 isepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
5 isepi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 13921 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
95ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
106ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  X  e.  B )
117ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  Y  e.  B )
12 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  z  e.  B )
13 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
14 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  g  e.  ( Y H z ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 13865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1615anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  ( Y H z ) )  ->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1716ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( Y H z ) ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
18 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
1918fmpt 5849 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  <-> 
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) )
20 df-f1 5418 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( (
g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2120baib 872 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  ->  (
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2219, 21sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
23 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2418, 23f1mpt 5966 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  /\  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 872 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2682 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   <.cop 3777    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424    Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844  Epicepi 13910
This theorem is referenced by:  setcepi  14198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-hom 13508  df-cco 13509  df-cat 13848  df-cid 13849  df-oppc 13893  df-mon 13911  df-epi 13912
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