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Theorem isepi2 14679
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, h, H, z    .x. , g, h, z    g, X, h, z    g, F, h, z    ph, g, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    C( h)    E( z,
g, h)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
3 isepi.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 isepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
5 isepi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 14678 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
95ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
106ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  X  e.  B )
117ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  Y  e.  B )
12 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  z  e.  B )
13 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
14 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  g  e.  ( Y H z ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 14622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1615anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  ( Y H z ) )  ->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1716ralrimiva 2798 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( Y H z ) ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
18 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
1918fmpt 5863 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  <-> 
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) )
20 df-f1 5422 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( (
g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2120baib 896 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  ->  (
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2219, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
23 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2418, 23f1mpt 5973 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  /\  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 896 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2730 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   <.cop 3882    e. cmpt 4349   `'ccnv 4838   Fun wfun 5411   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   Hom chom 14248  compcco 14249   Catccat 14601  Epicepi 14667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-hom 14261  df-cco 14262  df-cat 14605  df-cid 14606  df-oppc 14650  df-mon 14668  df-epi 14669
This theorem is referenced by:  setcepi  14955
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