Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi Structured version   Unicode version

Theorem isepi 14992
 Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b
isepi.h
isepi.o comp
isepi.e Epi
isepi.c
isepi.x
isepi.y
Assertion
Ref Expression
isepi
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4 oppCat oppCat
2 isepi.b . . . 4
31, 2oppcbas 14970 . . 3 oppCat
4 eqid 2467 . . 3 oppCat oppCat
5 eqid 2467 . . 3 compoppCat compoppCat
6 eqid 2467 . . 3 MonooppCat MonooppCat
7 isepi.c . . . 4
81oppccat 14974 . . . 4 oppCat
97, 8syl 16 . . 3 oppCat
10 isepi.y . . 3
11 isepi.x . . 3
123, 4, 5, 6, 9, 10, 11ismon 14985 . 2 MonooppCat oppCat oppCat compoppCat
13 isepi.e . . . 4 Epi
141, 7, 6, 13oppcmon 14990 . . 3 MonooppCat
1514eleq2d 2537 . 2 MonooppCat
16 isepi.h . . . . . 6
1716, 1oppchom 14967 . . . . 5 oppCat
1817a1i 11 . . . 4 oppCat
1918eleq2d 2537 . . 3 oppCat
2016, 1oppchom 14967 . . . . . . . 8 oppCat
2120a1i 11 . . . . . . 7 oppCat
22 isepi.o . . . . . . . 8 comp
23 simpr 461 . . . . . . . 8
2410adantr 465 . . . . . . . 8
2511adantr 465 . . . . . . . 8
262, 22, 1, 23, 24, 25oppcco 14969 . . . . . . 7 compoppCat
2721, 26mpteq12dv 4525 . . . . . 6 oppCat compoppCat
2827cnveqd 5176 . . . . 5 oppCat compoppCat
2928funeqd 5607 . . . 4 oppCat compoppCat
3029ralbidva 2900 . . 3 oppCat compoppCat
3119, 30anbi12d 710 . 2 oppCat oppCat compoppCat
3212, 15, 313bitr3d 283 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cop 4033   cmpt 4505  ccnv 4998   wfun 5580  cfv 5586  (class class class)co 6282  cbs 14486   chom 14562  compcco 14563  ccat 14915  oppCatcoppc 14963  Monocmon 14980  Epicepi 14981 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-hom 14575  df-cco 14576  df-cat 14919  df-cid 14920  df-oppc 14964  df-mon 14982  df-epi 14983 This theorem is referenced by:  isepi2  14993  epihom  14994
 Copyright terms: Public domain W3C validator