MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi Structured version   Unicode version

Theorem isepi 14992
Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, H, z    .x. , g, z   
g, X, z    g, F, z    ph, g, z   
g, Y, z
Allowed substitution hints:    E( z, g)

Proof of Theorem isepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 isepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 14970 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)  =  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)
5 eqid 2467 . . 3  |-  (comp `  (oppCat `  C ) )  =  (comp `  (oppCat `  C ) )
6 eqid 2467 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
7 isepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
81oppccat 14974 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
10 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
11 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
123, 4, 5, 6, 9, 10, 11ismon 14985 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  ( F  e.  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) ) ) ) )
13 isepi.e . . . 4  |-  E  =  (Epi `  C )
141, 7, 6, 13oppcmon 14990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1514eleq2d 2537 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  F  e.  ( X E Y ) ) )
16 isepi.h . . . . . 6  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
1716, 1oppchom 14967 . . . . 5  |-  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X H Y )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  =  ( X H Y ) )
1918eleq2d 2537 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  F  e.  ( X H Y ) ) )
2016, 1oppchom 14967 . . . . . . . 8  |-  ( z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H z )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H z ) )
22 isepi.o . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (comp `  C )
23 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2410adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  Y  e.  B )
2511adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  X  e.  B )
262, 22, 1, 23, 24, 25oppcco 14969 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F ( <. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C ) ) X ) g )  =  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2721, 26mpteq12dv 4525 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
g  e.  ( z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )
2827cnveqd 5176 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  `' ( g  e.  ( z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  =  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )
2928funeqd 5607 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( z ( Hom  `  (oppCat `  C )
) Y )  |->  ( F ( <. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C ) ) X ) g ) )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
3029ralbidva 2900 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  <->  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
3119, 30anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) ) )  <->  ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
3212, 15, 313bitr3d 283 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   <.cop 4033    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   Hom chom 14562  compcco 14563   Catccat 14915  oppCatcoppc 14963  Monocmon 14980  Epicepi 14981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-hom 14575  df-cco 14576  df-cat 14919  df-cid 14920  df-oppc 14964  df-mon 14982  df-epi 14983
This theorem is referenced by:  isepi2  14993  epihom  14994
  Copyright terms: Public domain W3C validator