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Theorem isdrs2 15694
Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
drsdirfi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isdrs2  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 15691 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  K  e.  Preset  )
2 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  K  e. Dirset )
3 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
43sseli 3495 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P B )
54elpwid 4025 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  C_  B )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  B )
7 inss2 3715 . . . . . . 7  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
87sseli 3495 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
10 drsbn0.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 drsdirfi.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
1210, 11drsdirfi 15693 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  C_  B  /\  x  e. 
Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
132, 6, 9, 12syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
1413ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
151, 14jca 532 . 2  |-  ( K  e. Dirset  ->  ( K  e. 
Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
16 simpl 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e.  Preset  )
17 0elpw 4625 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P B
18 0fin 7766 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
19 elin 3683 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  (/)  e.  Fin )
)
2017, 18, 19mpbir2an 920 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
21 raleq 3054 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2221rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2322rspcv 3206 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2420, 23ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
25 rexn0 3935 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2726adantl 466 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  B  =/=  (/) )
28 prelpwi 4703 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ~P B
)
29 prfi 7813 . . . . . . . . 9  |-  { a ,  b }  e.  Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  Fin )
3128, 30elind 3684 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
3231adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
33 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
34 raleq 3054 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
3534rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
3635rspcva 3208 . . . . . 6  |-  ( ( { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y )
3732, 33, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y )
38 vex 3112 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
39 vex 3112 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
40 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  (
z  .<_  y  <->  a  .<_  y ) )
41 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  (
z  .<_  y  <->  b  .<_  y ) )
4238, 39, 40, 41ralpr 4085 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4342rexbii 2959 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4437, 43sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4544ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4610, 11isdrs 15689 . . 3  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  (
a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) ) )
4716, 27, 45, 46syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e. Dirset )
4815, 47impbii 188 1  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {cpr 4034   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   Fincfn 7535   Basecbs 14643   lecple 14718    Preset cpreset 15681  Dirsetcdrs 15682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-preset 15683  df-drs 15684
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