Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs2 Structured version   Unicode version

Theorem isdrs2 15694
 Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b
drsdirfi.l
Assertion
Ref Expression
isdrs2 Dirset
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   , ,,

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 15691 . . 3 Dirset
2 simpl 457 . . . . 5 Dirset Dirset
3 inss1 3714 . . . . . . . 8
43sseli 3495 . . . . . . 7
54elpwid 4025 . . . . . 6
65adantl 466 . . . . 5 Dirset
7 inss2 3715 . . . . . . 7
87sseli 3495 . . . . . 6
98adantl 466 . . . . 5 Dirset
10 drsbn0.b . . . . . 6
11 drsdirfi.l . . . . . 6
1210, 11drsdirfi 15693 . . . . 5 Dirset
132, 6, 9, 12syl3anc 1228 . . . 4 Dirset
1413ralrimiva 2871 . . 3 Dirset
151, 14jca 532 . 2 Dirset
16 simpl 457 . . 3
17 0elpw 4625 . . . . . . 7
18 0fin 7766 . . . . . . 7
19 elin 3683 . . . . . . 7
2017, 18, 19mpbir2an 920 . . . . . 6
21 raleq 3054 . . . . . . . 8
2221rexbidv 2968 . . . . . . 7
2322rspcv 3206 . . . . . 6
2420, 23ax-mp 5 . . . . 5
25 rexn0 3935 . . . . 5
2624, 25syl 16 . . . 4
28 prelpwi 4703 . . . . . . . 8
29 prfi 7813 . . . . . . . . 9
3029a1i 11 . . . . . . . 8
3128, 30elind 3684 . . . . . . 7
3231adantl 466 . . . . . 6
33 simplr 755 . . . . . 6
34 raleq 3054 . . . . . . . 8
3534rexbidv 2968 . . . . . . 7
3635rspcva 3208 . . . . . 6
3732, 33, 36syl2anc 661 . . . . 5
38 vex 3112 . . . . . . 7
39 vex 3112 . . . . . . 7
40 breq1 4459 . . . . . . 7
41 breq1 4459 . . . . . . 7
4238, 39, 40, 41ralpr 4085 . . . . . 6
4342rexbii 2959 . . . . 5
4437, 43sylib 196 . . . 4
4544ralrimivva 2878 . . 3
4610, 11isdrs 15689 . . 3 Dirset
4716, 27, 45, 46syl3anbrc 1180 . 2 Dirset
4815, 47impbii 188 1 Dirset
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808   cin 3470   wss 3471  c0 3793  cpw 4015  cpr 4034   class class class wbr 4456  cfv 5594  cfn 7535  cbs 14643  cple 14718   cpreset 15681  Dirsetcdrs 15682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-preset 15683  df-drs 15684 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator