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Theorem isdrs2 15130
Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
drsdirfi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isdrs2  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 15127 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  K  e.  Preset  )
2 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  K  e. Dirset )
3 inss1 3591 . . . . . . . 8  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
43sseli 3373 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P B )
54elpwid 3891 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  C_  B )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  B )
7 inss2 3592 . . . . . . 7  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
87sseli 3373 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
10 drsbn0.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 drsdirfi.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
1210, 11drsdirfi 15129 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  C_  B  /\  x  e. 
Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
132, 6, 9, 12syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
1413ralrimiva 2820 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
151, 14jca 532 . 2  |-  ( K  e. Dirset  ->  ( K  e. 
Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
16 simpl 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e.  Preset  )
17 0elpw 4482 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P B
18 0fin 7561 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
19 elin 3560 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  (/)  e.  Fin )
)
2017, 18, 19mpbir2an 911 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
21 raleq 2938 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2221rexbidv 2757 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2322rspcv 3090 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2420, 23ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
25 rexn0 3803 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2726adantl 466 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  B  =/=  (/) )
28 prelpwi 4560 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ~P B
)
29 prfi 7607 . . . . . . . . 9  |-  { a ,  b }  e.  Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  Fin )
3128, 30elind 3561 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
3231adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
33 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
34 raleq 2938 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
3534rexbidv 2757 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
3635rspcva 3092 . . . . . 6  |-  ( ( { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y )
3732, 33, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y )
38 vex 2996 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
39 vex 2996 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
40 breq1 4316 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  (
z  .<_  y  <->  a  .<_  y ) )
41 breq1 4316 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  (
z  .<_  y  <->  b  .<_  y ) )
4238, 39, 40, 41ralpr 3950 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4342rexbii 2761 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4437, 43sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4544ralrimivva 2829 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4610, 11isdrs 15125 . . 3  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  (
a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) ) )
4716, 27, 45, 46syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e. Dirset )
4815, 47impbii 188 1  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   {cpr 3900   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   Fincfn 7331   Basecbs 14195   lecple 14266    Preset cpreset 15117  Dirsetcdrs 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335  df-preset 15119  df-drs 15120
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