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Theorem isdrngo2 32110
Description: A division ring is a ring in which  1  =/=  0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
isdivrng1.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
isdivrng1.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
isdivrng1.3  |-  Z  =  (GId `  G )
isdivrng1.4  |-  X  =  ran  G
isdivrng2.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
isdrngo2  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    x, H, y    x, X, y    x, Z, y    x, R, y   
x, U, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem isdrngo2
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdivrng1.1 . . 3  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 isdivrng1.2 . . 3  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 isdivrng1.3 . . 3  |-  Z  =  (GId `  G )
4 isdivrng1.4 . . 3  |-  X  =  ran  G
51, 2, 3, 4isdrngo1 32108 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp ) )
6 isdivrng2.5 . . . . . . 7  |-  U  =  (GId `  H )
71, 2, 4, 3, 6dvrunz 26146 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
85, 7sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  =/= 
Z )
9 grporndm 25923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  =  dom  dom  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
109adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
11 difss 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X 
\  { Z }
)  C_  X
12 xpss12 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  \  { Z } )  C_  X  /\  ( X  \  { Z } )  C_  X
)  ->  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) )  C_  ( X  X.  X ) )
1311, 11, 12mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  ( X  X.  X )
141, 2, 4rngosm 26094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
15 fdm 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  H  =  ( X  X.  X ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RingOps  ->  dom  H  =  ( X  X.  X
) )
1713, 16syl5sseqr 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) )  C_  dom  H )
1817adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  dom  H )
19 ssdmres 5141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  dom  H  <->  dom  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
2018, 19sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
2120dmeqd 5052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  dom  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )
22 dmxpid 5069 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  =  ( X  \  { Z } )
2321, 22syl6eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
2410, 23eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
2524eleq2d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  <-> 
x  e.  ( X 
\  { Z }
) ) )
2625biimpar 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
27 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
28 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
2927, 28grpoinvcl 25939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  ->  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
3029adantll 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x )  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
31 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
3227, 31, 28grpolinv 25941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  ->  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x ) ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) )
3332adantll 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) )
342rngomndo 26134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  e. MndOp )
35 mndomgmid 26055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e. MndOp  ->  H  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3736adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  H  e.  ( Magma  i^i  ExId  )
)
3811, 4sseqtri 3496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
\  { Z }
)  C_  ran  G
392, 1rngorn1eq 26133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ran  G  =  ran  H )
4038, 39syl5sseq 3512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  \  { Z } )  C_  ran  H )
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( X 
\  { Z }
)  C_  ran  H )
421rneqi 5076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  G  =  ran  ( 1st `  R
)
434, 42eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  ran  ( 1st `  R
)
4443, 2, 6rngo1cl 26142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  U  e.  X
)
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  e.  X )
46 eldifsn 4122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( U  e.  X  /\  U  =/= 
Z ) )
4745, 8, 46sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
48 grpomndo 26059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e. MndOp )
49 mndoismgmOLD 26054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. MndOp  ->  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
Magma )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  Magma )
5150adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  Magma )
52 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  H  =  ran  H
53 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  =  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
5452, 6, 53exidresid 32090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( H  e.  (
Magma  i^i  ExId  )  /\  ( X  \  { Z } )  C_  ran  H  /\  U  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
Magma )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  U )
5537, 41, 47, 51, 54syl31anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  U )
5655adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )  =  U )
5733, 56eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U )
58 oveq1 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x ) )
5958eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  -> 
( ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U ) )
6059rspcev 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x )  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  /\  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x ) ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6130, 57, 60syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6226, 61syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6324adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ran  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
6463rexeqdv 3032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U ) )
65 ovres 6446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( y H x ) )
6665ancoms 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  y  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( y H x ) )
6766eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  y  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  ( y H x )  =  U ) )
6867rexbidva 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
6968adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
7064, 69bitrd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U ) )
7162, 70mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U )
7271ralrimiva 2839 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )
738, 72jca 534 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
74 fvex 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
751, 74eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
7675rnex 6737 . . . . . . 7  |-  ran  G  e.  _V
774, 76eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
78 difexg 4568 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  { Z }
)  e.  _V )
7977, 78mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( X  \  { Z } )  e.  _V )
80 ffn 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( H : ( X  X.  X ) --> X  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
8114, 80syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
8281adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
83 fnssres 5703 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) )  C_  ( X  X.  X
) )  ->  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
8482, 13, 83sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
85 ovres 6446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) v )  =  ( u H v ) )
8685adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  =  ( u H v ) )
87 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  ->  u  e.  X )
88 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
v  e.  X )
8987, 88anim12i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )
901, 2, 4rngocl 26095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  (
u H v )  e.  X )
91903expb 1206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u H v )  e.  X )
9289, 91sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  X
)
9392adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  X
)
94 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  (
y H x )  =  ( y H u ) )
9594eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( y H x )  =  U  <->  ( y H u )  =  U ) )
9695rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H u )  =  U ) )
9796rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )
9897imdistanri 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )
99 eldifsn 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( v  e.  X  /\  v  =/=  Z ) )
100 ssrexv 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  \  { Z } )  C_  X  ->  ( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U ) )
10111, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U )
1021, 2, 3, 4, 6zerdivemp1x 32107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U )  ->  (
v  e.  X  -> 
( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
103101, 102syl3an3 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  (
v  e.  X  -> 
( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
10487, 103syl3an2 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  ( X  \  { Z } )  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  ( v  e.  X  ->  ( (
u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
1051043expb 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  -> 
( v  e.  X  ->  ( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
106105imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  X )  ->  ( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) )
107106necon3d 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  X )  ->  ( v  =/=  Z  ->  ( u H v )  =/=  Z ) )
108107impr 623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  ( v  e.  X  /\  v  =/=  Z
) )  ->  (
u H v )  =/=  Z )
10999, 108sylan2b 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( u H v )  =/= 
Z )
110109an32s 811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  /\  E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U ) )  ->  (
u H v )  =/=  Z )
111110ancom2s 809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
11298, 111sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
113112an42s 834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A. x  e.  ( X 
\  { Z }
) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
114113adantlrl 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
115 eldifsn 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( (
u H v )  e.  X  /\  (
u H v )  =/=  Z ) )
11693, 114, 115sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } ) )
11786, 116eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
118117ralrimivva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  A. u  e.  ( X  \  { Z }
) A. v  e.  ( X  \  { Z } ) ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
119 ffnov 6410 . . . . . 6  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  <->  ( ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) )  /\  A. u  e.  ( X 
\  { Z }
) A. v  e.  ( X  \  { Z } ) ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) ) )
12084, 118, 119sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } ) )
1211163adantr3 1166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } ) )
122 simpr3 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  w  e.  ( X  \  { Z } ) )
123121, 122ovresd 6447 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  =  ( ( u H v ) H w ) )
124853adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) v )  =  ( u H v ) )
125124adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  =  ( u H v ) )
126125oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( ( u H v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )
127 ovres 6446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( v H w ) )
1281273adant1 1023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( v H w ) )
129128adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  =  ( v H w ) )
130129oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( u H ( v H w ) ) )
131 simpr1 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  u  e.  ( X  \  { Z } ) )
132 fovrn 6449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  e.  ( X  \  { Z } ) )
1331323adant3r1 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
134120, 133sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
135131, 134ovresd 6447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( u H ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) ) )
136 eldifi 3587 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( X  \  { Z } )  ->  w  e.  X )
13787, 88, 1363anim123i 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  w  e.  X
) )
1381, 2, 4rngoass 26100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
139137, 138sylan2 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
140139adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
141130, 135, 1403eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( ( u H v ) H w ) )
142123, 126, 1413eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) ) )
14344anim1i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  ( U  e.  X  /\  U  =/=  Z ) )
144143, 46sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
145144adantrr 721 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
146 ovres 6446 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( U ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) u )  =  ( U H u ) )
147144, 146sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  ( U H u ) )
1482, 43, 6rngolidm 26137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X )  ->  ( U H u )  =  u )
14987, 148sylan2 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( U H u )  =  u )
150149adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U H u )  =  u )
151147, 150eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  u )
152151adantlrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  u )
15396rspcva 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )
154 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y H u )  =  ( z H u ) )
155154eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( y H u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
156155cbvrexv 3056 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  <->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z H u )  =  U )
157 ovres 6446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) u )  =  ( z H u ) )
158157eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
159158ancoms 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  z  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
160159rexbidva 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z H u )  =  U ) )
161160biimpar 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z H u )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
162156, 161sylan2b 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
163153, 162syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
164163ancoms 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U )
165164adantll 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A. x  e.  ( X 
\  { Z }
) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U )
166165adantlrl 724 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
16779, 120, 142, 145, 152, 166isgrpda 26010 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )
16873, 167impbida 840 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp 
<->  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
169168pm5.32i 641 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  <->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( U  =/= 
Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
1705, 169bitri 252 1  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   {csn 3996    X. cxp 4847   dom cdm 4849   ran crn 4850    |` cres 4851    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1stc1st 6801   2ndc2nd 6802   GrpOpcgr 25899  GIdcgi 25900   invcgn 25901    ExId cexid 26027   Magmacmagm 26031  MndOpcmndo 26050   RingOpscrngo 26088   DivRingOpscdrng 26118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-1o 7186  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-ablo 25995  df-ass 26026  df-exid 26028  df-mgmOLD 26032  df-sgrOLD 26044  df-mndo 26051  df-rngo 26089  df-drngo 26119
This theorem is referenced by:  isdrngo3  32111  divrngidl  32174
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