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Theorem isdrngo2 28935
Description: A division ring is a ring in which  1  =/=  0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
isdivrng1.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
isdivrng1.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
isdivrng1.3  |-  Z  =  (GId `  G )
isdivrng1.4  |-  X  =  ran  G
isdivrng2.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
isdrngo2  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    x, H, y    x, X, y    x, Z, y    x, R, y   
x, U, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem isdrngo2
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdivrng1.1 . . 3  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 isdivrng1.2 . . 3  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 isdivrng1.3 . . 3  |-  Z  =  (GId `  G )
4 isdivrng1.4 . . 3  |-  X  =  ran  G
51, 2, 3, 4isdrngo1 28933 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp ) )
6 isdivrng2.5 . . . . . . 7  |-  U  =  (GId `  H )
71, 2, 4, 3, 6dvrunz 24099 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
85, 7sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  =/= 
Z )
9 grporndm 23876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  =  dom  dom  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
11 difss 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X 
\  { Z }
)  C_  X
12 xpss12 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  \  { Z } )  C_  X  /\  ( X  \  { Z } )  C_  X
)  ->  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) )  C_  ( X  X.  X ) )
1311, 11, 12mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  ( X  X.  X )
141, 2, 4rngosm 24047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
15 fdm 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  H  =  ( X  X.  X ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RingOps  ->  dom  H  =  ( X  X.  X
) )
1713, 16syl5sseqr 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) )  C_  dom  H )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  dom  H )
19 ssdmres 5243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  dom  H  <->  dom  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
2120dmeqd 5153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  dom  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )
22 dmxpid 5170 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  =  ( X  \  { Z } )
2321, 22syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
2410, 23eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
2524eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  <-> 
x  e.  ( X 
\  { Z }
) ) )
2625biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
28 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
2927, 28grpoinvcl 23892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  ->  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
3029adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x )  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
31 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
3227, 31, 28grpolinv 23894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  ->  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x ) ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) )
3332adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) )
342rngomndo 24087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  e. MndOp )
35 mndomgmid 24008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e. MndOp  ->  H  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  H  e.  ( Magma  i^i  ExId  )
)
3811, 4sseqtri 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
\  { Z }
)  C_  ran  G
392, 1rngorn1eq 24086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ran  G  =  ran  H )
4038, 39syl5sseq 3515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  \  { Z } )  C_  ran  H )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( X 
\  { Z }
)  C_  ran  H )
421rneqi 5177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  G  =  ran  ( 1st `  R
)
434, 42eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  ran  ( 1st `  R
)
4443, 2, 6rngo1cl 24095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  U  e.  X
)
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  e.  X )
46 eldifsn 4111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( U  e.  X  /\  U  =/= 
Z ) )
4745, 8, 46sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
48 grpomndo 24012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e. MndOp )
49 mndoismgm 24007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. MndOp  ->  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
Magma )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  Magma )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  Magma )
52 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  H  =  ran  H
53 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  =  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
5452, 6, 53exidresid 28915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( H  e.  (
Magma  i^i  ExId  )  /\  ( X  \  { Z } )  C_  ran  H  /\  U  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
Magma )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  U )
5537, 41, 47, 51, 54syl31anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  U )
5655adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )  =  U )
5733, 56eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U )
58 oveq1 6210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x ) )
5958eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  -> 
( ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U ) )
6059rspcev 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x )  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  /\  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x ) ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6130, 57, 60syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6226, 61syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6324adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ran  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
6463rexeqdv 3030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U ) )
65 ovres 6343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( y H x ) )
6665ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  y  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( y H x ) )
6766eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  y  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  ( y H x )  =  U ) )
6867rexbidva 2865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
6968adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
7064, 69bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U ) )
7162, 70mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U )
7271ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )
738, 72jca 532 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
74 fvex 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
751, 74eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
7675rnex 6625 . . . . . . 7  |-  ran  G  e.  _V
774, 76eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
78 difexg 4551 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  { Z }
)  e.  _V )
7977, 78mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( X  \  { Z } )  e.  _V )
80 ffn 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( H : ( X  X.  X ) --> X  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
8114, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
8281adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
83 fnssres 5635 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) )  C_  ( X  X.  X
) )  ->  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
8482, 13, 83sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
85 ovres 6343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) v )  =  ( u H v ) )
8685adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  =  ( u H v ) )
87 eldifi 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  ->  u  e.  X )
88 eldifi 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
v  e.  X )
8987, 88anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )
901, 2, 4rngocl 24048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  (
u H v )  e.  X )
91903expb 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u H v )  e.  X )
9289, 91sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  X
)
9392adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  X
)
94 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  (
y H x )  =  ( y H u ) )
9594eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( y H x )  =  U  <->  ( y H u )  =  U ) )
9695rexbidv 2868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H u )  =  U ) )
9796rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )
9897imdistanri 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )
99 eldifsn 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( v  e.  X  /\  v  =/=  Z ) )
100 ssrexv 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  \  { Z } )  C_  X  ->  ( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U ) )
10111, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U )
1021, 2, 3, 4, 6zerdivemp1x 28932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U )  ->  (
v  e.  X  -> 
( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
103101, 102syl3an3 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  (
v  e.  X  -> 
( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
10487, 103syl3an2 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  ( X  \  { Z } )  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  ( v  e.  X  ->  ( (
u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
1051043expb 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  -> 
( v  e.  X  ->  ( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
106105imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  X )  ->  ( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) )
107106necon3d 2676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  X )  ->  ( v  =/=  Z  ->  ( u H v )  =/=  Z ) )
108107impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  ( v  e.  X  /\  v  =/=  Z
) )  ->  (
u H v )  =/=  Z )
10999, 108sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( u H v )  =/= 
Z )
110109an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  /\  E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U ) )  ->  (
u H v )  =/=  Z )
111110ancom2s 800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
11298, 111sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
113112an42s 823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A. x  e.  ( X 
\  { Z }
) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
114113adantlrl 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
115 eldifsn 4111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( (
u H v )  e.  X  /\  (
u H v )  =/=  Z ) )
11693, 114, 115sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } ) )
11786, 116eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
118117ralrimivva 2914 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  A. u  e.  ( X  \  { Z }
) A. v  e.  ( X  \  { Z } ) ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
119 ffnov 6307 . . . . . 6  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  <->  ( ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) )  /\  A. u  e.  ( X 
\  { Z }
) A. v  e.  ( X  \  { Z } ) ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) ) )
12084, 118, 119sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } ) )
1211163adantr3 1149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } ) )
122 simpr3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  w  e.  ( X  \  { Z } ) )
123121, 122ovresd 6344 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  =  ( ( u H v ) H w ) )
124853adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) v )  =  ( u H v ) )
125124adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  =  ( u H v ) )
126125oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( ( u H v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )
127 ovres 6343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( v H w ) )
1281273adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( v H w ) )
129128adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  =  ( v H w ) )
130129oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( u H ( v H w ) ) )
131 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  u  e.  ( X  \  { Z } ) )
132 fovrn 6346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  e.  ( X  \  { Z } ) )
1331323adant3r1 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
134120, 133sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
135131, 134ovresd 6344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( u H ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) ) )
136 eldifi 3589 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( X  \  { Z } )  ->  w  e.  X )
13787, 88, 1363anim123i 1173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  w  e.  X
) )
1381, 2, 4rngoass 24053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
139137, 138sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
140139adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
141130, 135, 1403eqtr4d 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( ( u H v ) H w ) )
142123, 126, 1413eqtr4d 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) ) )
14344anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  ( U  e.  X  /\  U  =/=  Z ) )
144143, 46sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
145144adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
146 ovres 6343 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( U ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) u )  =  ( U H u ) )
147144, 146sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  ( U H u ) )
1482, 43, 6rngolidm 24090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X )  ->  ( U H u )  =  u )
14987, 148sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( U H u )  =  u )
150149adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U H u )  =  u )
151147, 150eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  u )
152151adantlrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  u )
15396rspcva 3177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )
154 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y H u )  =  ( z H u ) )
155154eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( y H u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
156155cbvrexv 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  <->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z H u )  =  U )
157 ovres 6343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) u )  =  ( z H u ) )
158157eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
159158ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  z  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
160159rexbidva 2865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z H u )  =  U ) )
161160biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z H u )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
162156, 161sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
163153, 162syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
164163ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U )
165164adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A. x  e.  ( X 
\  { Z }
) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U )
166165adantlrl 719 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
16779, 120, 142, 145, 152, 166isgrpda 23963 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )
16873, 167impbida 828 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp 
<->  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
169168pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  <->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( U  =/= 
Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
1705, 169bitri 249 1  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    i^i cin 3438    C_ wss 3439   {csn 3988    X. cxp 4949   dom cdm 4951   ran crn 4952    |` cres 4953    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1stc1st 6688   2ndc2nd 6689   GrpOpcgr 23852  GIdcgi 23853   invcgn 23854    ExId cexid 23980   Magmacmagm 23984  MndOpcmndo 24003   RingOpscrngo 24041   DivRingOpscdrng 24071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-ablo 23948  df-ass 23979  df-exid 23981  df-mgm 23985  df-sgr 23997  df-mndo 24004  df-rngo 24042  df-drngo 24072
This theorem is referenced by:  isdrngo3  28936  divrngidl  28999
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