Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Unicode version

Theorem isdrngd 16979
 Description: Properties that determine a division ring. (reciprocal) is normally dependent on i.e. read it as ." (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b
isdrngd.t
isdrngd.z
isdrngd.u
isdrngd.r
isdrngd.n
isdrngd.o
isdrngd.i
isdrngd.j
isdrngd.k
Assertion
Ref Expression
isdrngd
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,   ,   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3
2 difss 3590 . . . . . 6
3 isdrngd.b . . . . . 6
42, 3syl5sseq 3511 . . . . 5
5 eqid 2454 . . . . . 6 mulGrps mulGrps
6 eqid 2454 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
7 eqid 2454 . . . . . . 7
86, 7mgpbas 16718 . . . . . 6 mulGrp
95, 8ressbas2 14347 . . . . 5 mulGrps
104, 9syl 16 . . . 4 mulGrps
11 isdrngd.t . . . . 5
12 fvex 5808 . . . . . . 7
133, 12syl6eqel 2550 . . . . . 6
14 difexg 4547 . . . . . 6
15 eqid 2454 . . . . . . . 8
166, 15mgpplusg 16716 . . . . . . 7 mulGrp
175, 16ressplusg 14398 . . . . . 6 mulGrps
1813, 14, 173syl 20 . . . . 5 mulGrps
1911, 18eqtrd 2495 . . . 4 mulGrps
20 eldifsn 4107 . . . . 5
21 eldifsn 4107 . . . . . 6
227, 15rngcl 16780 . . . . . . . . . . . . 13
231, 22syl3an1 1252 . . . . . . . . . . . 12
24233expib 1191 . . . . . . . . . . 11
253eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12
263eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
2811oveqd 6216 . . . . . . . . . . . 12
2928, 3eleq12d 2536 . . . . . . . . . . 11
3024, 27, 293imtr4d 268 . . . . . . . . . 10
31303impib 1186 . . . . . . . . 9
32313adant2r 1214 . . . . . . . 8
33323adant3r 1216 . . . . . . 7
34 isdrngd.n . . . . . . 7
35 eldifsn 4107 . . . . . . 7
3633, 34, 35sylanbrc 664 . . . . . 6
3721, 36syl3an3b 1257 . . . . 5
3820, 37syl3an2b 1256 . . . 4
39 eldifi 3585 . . . . . 6
40 eldifi 3585 . . . . . 6
41 eldifi 3585 . . . . . 6
4239, 40, 413anim123i 1173 . . . . 5
437, 15rngass 16783 . . . . . . . . 9
4443ex 434 . . . . . . . 8
451, 44syl 16 . . . . . . 7
463eleq2d 2524 . . . . . . . 8
4725, 26, 463anbi123d 1290 . . . . . . 7
48 eqidd 2455 . . . . . . . . 9
4911, 28, 48oveq123d 6220 . . . . . . . 8
50 eqidd 2455 . . . . . . . . 9
5111oveqd 6216 . . . . . . . . 9
5211, 50, 51oveq123d 6220 . . . . . . . 8
5349, 52eqeq12d 2476 . . . . . . 7
5445, 47, 533imtr4d 268 . . . . . 6
5554imp 429 . . . . 5
5642, 55sylan2 474 . . . 4
57 eqid 2454 . . . . . . . 8
587, 57rngidcl 16787 . . . . . . 7
591, 58syl 16 . . . . . 6
60 isdrngd.u . . . . . 6
6159, 60, 33eltr4d 2557 . . . . 5
62 isdrngd.o . . . . 5
63 eldifsn 4107 . . . . 5
6461, 62, 63sylanbrc 664 . . . 4
657, 15, 57rnglidm 16790 . . . . . . . . . 10
6665ex 434 . . . . . . . . 9
671, 66syl 16 . . . . . . . 8
6811, 60, 50oveq123d 6220 . . . . . . . . 9
6968eqeq1d 2456 . . . . . . . 8
7067, 25, 693imtr4d 268 . . . . . . 7
7170imp 429 . . . . . 6
7271adantrr 716 . . . . 5
7320, 72sylan2b 475 . . . 4
74 isdrngd.i . . . . . 6
75 isdrngd.j . . . . . 6
76 eldifsn 4107 . . . . . 6
7774, 75, 76sylanbrc 664 . . . . 5
7820, 77sylan2b 475 . . . 4
79 isdrngd.k . . . . 5
8020, 79sylan2b 475 . . . 4
8110, 19, 38, 56, 64, 73, 78, 80isgrpd 15681 . . 3 mulGrps
82 isdrngd.z . . . . . . . 8
8382sneqd 3996 . . . . . . 7
843, 83difeq12d 3582 . . . . . 6
8584oveq2d 6215 . . . . 5 mulGrps mulGrps
8685eleq1d 2523 . . . 4 mulGrps mulGrps
8786anbi2d 703 . . 3 mulGrps mulGrps
881, 81, 87mpbi2and 912 . 2 mulGrps
89 eqid 2454 . . 3
90 eqid 2454 . . 3 mulGrps mulGrps
917, 89, 90isdrng2 16964 . 2 mulGrps
9288, 91sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   wne 2647  cvv 3076   cdif 3432   wss 3435  csn 3984  cfv 5525  (class class class)co 6199  cbs 14291   ↾s cress 14292   cplusg 14356  cmulr 14357  c0g 14496  cgrp 15528  mulGrpcmgp 16712  cur 16724  crg 16767  cdr 16954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-drng 16956 This theorem is referenced by:  isdrngrd  16980  cndrng  17969  erngdvlem4  34958
 Copyright terms: Public domain W3C validator