Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrng2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isdrng2 18063
 Description: A division ring can equivalently be defined as a ring such that the nonzero elements form a group under multiplication (from which it follows that this is the same group as the group of units). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng2.b
isdrng2.z
isdrng2.g mulGrps
Assertion
Ref Expression
isdrng2

Proof of Theorem isdrng2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrng2.b . . 3
2 eqid 2471 . . 3 Unit Unit
3 isdrng2.z . . 3
41, 2, 3isdrng 18057 . 2 Unit
5 oveq2 6316 . . . . . . 7 Unit mulGrps Unit mulGrps
65adantl 473 . . . . . 6 Unit mulGrps Unit mulGrps
7 isdrng2.g . . . . . 6 mulGrps
86, 7syl6eqr 2523 . . . . 5 Unit mulGrps Unit
9 eqid 2471 . . . . . . 7 mulGrps Unit mulGrps Unit
102, 9unitgrp 17973 . . . . . 6 mulGrps Unit
1110adantr 472 . . . . 5 Unit mulGrps Unit
128, 11eqeltrrd 2550 . . . 4 Unit
131, 2unitcl 17965 . . . . . . . . 9 Unit
1413adantl 473 . . . . . . . 8 Unit
15 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp mulGrp
1716, 1mgpbas 17807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrp
187, 17ressbas2 15258 . . . . . . . . . . . . . . 15
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
20 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20grpidcl 16772 . . . . . . . . . . . . 13
2221ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12 Unit
23 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23sylib 201 . . . . . . . . . . 11 Unit
2524simprd 470 . . . . . . . . . 10 Unit
26 simpll 768 . . . . . . . . . . 11 Unit
2722eldifad 3402 . . . . . . . . . . 11 Unit
28 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 Unit Unit
29 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 /r /r
30 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
311, 2, 29, 30dvrcan1 17997 . . . . . . . . . . 11 Unit /r
3226, 27, 28, 31syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 Unit /r
331, 2, 29dvrcl 17992 . . . . . . . . . . . 12 Unit /r
3426, 27, 28, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 Unit /r
351, 30, 3ringrz 17896 . . . . . . . . . . 11 /r /r
3626, 34, 35syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 Unit /r
3725, 32, 363netr4d 2720 . . . . . . . . 9 Unit /r /r
38 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10 /r /r
3938necon3i 2675 . . . . . . . . 9 /r /r
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 Unit
41 eldifsn 4088 . . . . . . . 8
4214, 40, 41sylanbrc 677 . . . . . . 7 Unit
4342ex 441 . . . . . 6 Unit
4443ssrdv 3424 . . . . 5 Unit
45 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11
4645adantl 473 . . . . . . . . . 10
47 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
4819, 47grpinvcl 16789 . . . . . . . . . . . 12
4948adantll 728 . . . . . . . . . . 11
5049eldifad 3402 . . . . . . . . . 10
51 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 r r
521, 51, 30dvdsrmul 17954 . . . . . . . . . 10 r
5346, 50, 52syl2anc 673 . . . . . . . . 9 r
54 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
551, 54eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . 13
56 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . 13
5716, 30mgpplusg 17805 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp
587, 57ressplusg 15317 . . . . . . . . . . . . 13
5955, 56, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
6019, 59, 20, 47grplinv 16790 . . . . . . . . . . 11
6160adantll 728 . . . . . . . . . 10
62 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
631, 62ringidcl 17879 . . . . . . . . . . . . . 14
641, 30, 62ringlidm 17882 . . . . . . . . . . . . . 14
6563, 64mpdan 681 . . . . . . . . . . . . 13
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
67 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
682, 621unit 17964 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unit
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
7044, 69sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13
7119, 59, 20grpid 16779 . . . . . . . . . . . . 13
7267, 70, 71syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
7366, 72mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
7473adantr 472 . . . . . . . . . 10
7561, 74eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
7653, 75breqtrd 4420 . . . . . . . 8 r
77 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 oppr oppr
7877, 1opprbas 17935 . . . . . . . . . . 11 oppr
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 roppr roppr
80 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 oppr oppr
8178, 79, 80dvdsrmul 17954 . . . . . . . . . 10 ropproppr
8246, 50, 81syl2anc 673 . . . . . . . . 9 ropproppr
831, 30, 77, 80opprmul 17932 . . . . . . . . . 10 oppr
8419, 59, 20, 47grprinv 16791 . . . . . . . . . . . 12
8584adantll 728 . . . . . . . . . . 11
8685, 74eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
8783, 86syl5eq 2517 . . . . . . . . 9 oppr
8882, 87breqtrd 4420 . . . . . . . 8 roppr
892, 62, 51, 77, 79isunit 17963 . . . . . . . 8 Unit r roppr
9076, 88, 89sylanbrc 677 . . . . . . 7 Unit
9190ex 441 . . . . . 6 Unit
9291ssrdv 3424 . . . . 5 Unit
9344, 92eqssd 3435 . . . 4 Unit
9412, 93impbida 850 . . 3 Unit
9594pm5.32i 649 . 2 Unit
964, 95bitri 257 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  cmulr 15269  c0g 15416  cgrp 16747  cminusg 16748  mulGrpcmgp 17801  cur 17813  crg 17858  opprcoppr 17928  rcdsr 17944  Unitcui 17945  /rcdvr 17988  cdr 18053 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055 This theorem is referenced by:  drngmgp  18065  isdrngd  18078
 Copyright terms: Public domain W3C validator