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Theorem isdomn3 27391
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isdomn3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
isdomn3.u  |-  U  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
isdomn3  |-  ( R  e. Domn 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U ) ) )

Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3 isdomn3.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
41, 2, 3isdomn 16309 . 2  |-  ( R  e. Domn 
<->  ( R  e. NzRing  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) ) )
5 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
65, 3isnzr 16285 . . . . 5  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  .0.  )
)
76anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  .0.  ->  (
x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) )  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/= 
.0.  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) ) )
8 anass 631 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  .0.  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x ( .r `  R ) y )  =  .0. 
->  ( x  =  .0. 
\/  y  =  .0.  ) ) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( ( 1r `  R )  =/= 
.0.  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  .0.  ->  (
x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) ) ) )
97, 8bitri 241 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  .0.  ->  (
x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( ( 1r `  R )  =/= 
.0.  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  .0.  ->  (
x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) ) ) )
101, 5rngidcl 15639 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
11 eldifsn 3887 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  =/= 
.0.  ) )
1211baibr 873 . . . . . . 7  |-  ( ( 1r `  R )  e.  B  ->  (
( 1r `  R
)  =/=  .0.  <->  ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
1310, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  .0.  <->  ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
141, 2rngcl 15632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  B )
15143expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  B )
1615biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  R ) y )  =/=  .0.  <->  ( (
x ( .r `  R ) y )  e.  B  /\  (
x ( .r `  R ) y )  =/=  .0.  ) ) )
17 eldifsn 3887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( (
x ( .r `  R ) y )  e.  B  /\  (
x ( .r `  R ) y )  =/=  .0.  ) )
1816, 17syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  R ) y )  =/=  .0.  <->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
1918imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r
`  R ) y )  =/=  .0.  )  <->  ( ( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) ) )
20192ralbidva 2706 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r
`  R ) y )  =/=  .0.  )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) ) )
21 con34b 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
)  <->  ( -.  (
x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )  ->  -.  ( x ( .r `  R ) y )  =  .0.  ) )
22 neanior 2652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  <->  -.  (
x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
)
23 df-ne 2569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( .r `  R ) y )  =/=  .0.  <->  -.  (
x ( .r `  R ) y )  =  .0.  )
2422, 23imbi12i 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r
`  R ) y )  =/=  .0.  )  <->  ( -.  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )  ->  -.  ( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  )
)
2521, 24bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
)  <->  ( ( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =/=  .0.  ) )
26252ralbii 2692 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
)  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  =/= 
.0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r `  R
) y )  =/= 
.0.  ) )
27 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =/= 
.0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
28 an4 798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  =/=  .0.  /\  y  =/= 
.0.  ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) ) )
29 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  ) )
30 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )
3129, 30anbi12i 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) ) )
3228, 31bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  =/=  .0.  /\  y  =/= 
.0.  ) )  <->  ( x  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
3332imbi1i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  <->  ( (
x  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
3427, 33bitr3i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( (
x  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
35342albii 1573 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =/= 
.0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
36 r2al 2703 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  =/=  .0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) ) )
37 r2al 2703 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
3835, 36, 373bitr4ri 270 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  =/= 
.0.  /\  y  =/=  .0.  )  ->  ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
3920, 26, 383bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
)  <->  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
4013, 39anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) )  <->  ( ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
41 isdomn3.u . . . . . . 7  |-  U  =  (mulGrp `  R )
4241rngmgp 15625 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e. 
Mnd )
4341, 1mgpbas 15609 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  U
)
4441, 5rngidval 15621 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  U
)
4541, 2mgpplusg 15607 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  U
)
4643, 44, 45issubm 14703 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Mnd  ->  (
( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U )  <->  ( ( B  \  {  .0.  }
)  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  A. x  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
47 3anass 940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  \  {  .0.  } )  C_  B  /\  ( 1r `  R
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  <->  ( ( B  \  {  .0.  }
)  C_  B  /\  ( ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
4846, 47syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Mnd  ->  (
( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U )  <->  ( ( B  \  {  .0.  }
)  C_  B  /\  ( ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
49 difss 3434 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  C_  B
5049biantrur 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  <->  ( ( B  \  {  .0.  }
)  C_  B  /\  ( ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R
) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
5148, 50syl6bbr 255 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Mnd  ->  (
( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U )  <->  ( ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
5242, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U )  <->  ( ( 1r `  R )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  A. x  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
5340, 52bitr4d 248 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) )  <->  ( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U
) ) )
5453pm5.32i 619 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  =/=  .0.  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  .0.  ->  ( x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) ) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U
) ) )
559, 54bitri 241 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  .0.  ->  (
x  =  .0.  \/  y  =  .0.  )
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U
) ) )
564, 55bitri 241 1  |-  ( R  e. Domn 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( B  \  {  .0.  } )  e.  (SubMnd `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639  SubMndcsubmnd 14692  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   1rcur 15617  NzRingcnzr 16283  Domncdomn 16295
This theorem is referenced by:  deg1mhm  27394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-nzr 16284  df-domn 16299
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