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Theorem isdlat 15949
Description: Property of being a distributive lattice. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdlat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isdlat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
isdlat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
isdlat  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, K    x, B, y, z    x,  .\/ , y,
z    x,  ./\ , y, z

Proof of Theorem isdlat
Dummy variables  k 
b  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
2 isdlat.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
31, 2syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
4 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  =  ( join `  K
) )
5 isdlat.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
64, 5syl6eqr 2516 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  = 
.\/  )
7 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  =  ( meet `  K
) )
8 isdlat.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
97, 8syl6eqr 2516 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  = 
./\  )
109sbceq1d 3332 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
116, 10sbceqbid 3334 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
123, 11sbceqbid 3334 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
13 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
142, 13eqeltri 2541 . . . 4  |-  B  e. 
_V
15 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( join `  K )  e.  _V
165, 15eqeltri 2541 . . . 4  |-  .\/  e.  _V
17 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  e.  _V
188, 17eqeltri 2541 . . . 4  |-  ./\  e.  _V
19 raleq 3054 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2019raleqbi1dv 3062 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2120raleqbi1dv 3062 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  m  =  ./\  )
23 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  x  =  x )
24 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
j  =  .\/  )
2524oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( y j z )  =  ( y 
.\/  z ) )
2622, 23, 25oveq123d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m ( y j z ) )  =  ( x 
./\  ( y  .\/  z ) ) )
2722oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m y )  =  ( x 
./\  y ) )
2822oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m z )  =  ( x 
./\  z ) )
2924, 27, 28oveq123d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m y ) j ( x m z ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) )
3026, 29eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <-> 
( x  ./\  (
y  .\/  z )
)  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) ) )
3130ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
32312ralbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
3321, 32sylan9bb 699 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
34333impb 1192 . . . 4  |-  ( ( b  =  B  /\  j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
3514, 16, 18, 34sbc3ie 3403 . . 3  |-  ( [. B  /  b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
3612, 35syl6bb 261 . 2  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
37 df-dlat 15948 . 2  |- DLat  =  {
k  e.  Lat  |  [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) }
3836, 37elrab2 3259 1  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   joincjn 15699   meetcmee 15700   Latclat 15801  DLatcdlat 15947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-dlat 15948
This theorem is referenced by:  dlatmjdi  15950  dlatl  15951  odudlatb  15952
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