Theorem isdir2 14640

Description: Alternate definition of a direction.

Hypothesis

Ref	Expression
isdir2.1	|- X = dom D

Assertion

Ref	Expression
isdir2	|- (D e. Dir <-> (D e. Preset /\ A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))

Distinct variable groups:   x,D,y,z   x,X,y,z

Proof of Theorem isdir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdir2 14639	. . 3 |- Dir = ( Preset i^i {d | A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})})
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (D e. Dir <-> D e. ( Preset i^i {d | A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})}))
3		elin 2786	. 2 |- (D e. ( Preset i^i {d | A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})}) <-> (D e. Preset /\ D e. {d | A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})}))
4		ax-17 1317	. . . . 5 |- (x e. D -> A.d x e. D)
5		ax-17 1317	. . . . 5 |- (A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}) -> A.dA.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}))
6		unieq 3185	. . . . . . . . 9 |- (d = D -> U.d = U.D)
7	6	unieqd 3188	. . . . . . . 8 |- (d = D -> U.U.d = U.U.D)
8	7	eleq2d 1964	. . . . . . 7 |- (d = D -> (x e. U.U.d <-> x e. U.U.D))
9	7	eleq2d 1964	. . . . . . . . 9 |- (d = D -> (y e. U.U.d <-> y e. U.U.D))
10	7	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . 11 |- (d = D -> (z e. U.U.d <-> z e. U.U.D))
11		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (d = D -> (d ub {x, y}) = (D ub {x, y}))
12	11	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . 11 |- (d = D -> (z e. (d ub {x, y}) <-> z e. (D ub {x, y})))
13	10, 12	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (d = D -> ((z e. U.U.d /\ z e. (d ub {x, y})) <-> (z e. U.U.D /\ z e. (D ub {x, y}))))
14	13	rexbidv2 2126	. . . . . . . . 9 |- (d = D -> (E.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y}) <-> E.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y})))
15	9, 14	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (d = D -> ((y e. U.U.d -> E.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})) <-> (y e. U.U.D -> E.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}))))
16	15	ralbidv2 2125	. . . . . . 7 |- (d = D -> (A.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y}) <-> A.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y})))
17	8, 16	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (d = D -> ((x e. U.U.d -> A.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})) <-> (x e. U.U.D -> A.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}))))
18	17	ralbidv2 2125	. . . . 5 |- (d = D -> (A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y}) <-> A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y})))
19	4, 5, 18	elabgf 2404	. . . 4 |- (D e. Preset -> (D e. {d | A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})} <-> A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y})))
20		eqtr 1904	. . . . . 6 |- ((X = dom D /\ dom D = U.U.D) -> X = U.U.D)
21		rexeq 2267	. . . . . . . . 9 |- (U.U.D = X -> (E.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}) <-> E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
22	21	raleqbi1dv 2271	. . . . . . . 8 |- (U.U.D = X -> (A.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}) <-> A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
23	22	raleqbi1dv 2271	. . . . . . 7 |- (U.U.D = X -> (A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}) <-> A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
24	23	eqcoms 1887	. . . . . 6 |- (X = U.U.D -> (A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}) <-> A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
25	20, 24	syl 12	. . . . 5 |- ((X = dom D /\ dom D = U.U.D) -> (A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}) <-> A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
26		isdir2.1	. . . . 5 |- X = dom D
27		preodom2 14567	. . . . 5 |- (D e. Preset -> dom D = U.U.D)
28	25, 26, 27	sylancr 526	. . . 4 |- (D e. Preset -> (A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.Dz e. (D ub {x, y}) <-> A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
29	19, 28	bitrd 587	. . 3 |- (D e. Preset -> (D e. {d | A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})} <-> A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
30	29	pm5.32i 707	. 2 |- ((D e. Preset /\ D e. {d | A.x e. U.U.dA.y e. U.U.dE.z e. U.U.dz e. (d ub {x, y})}) <-> (D e. Preset /\ A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))
31	2, 3, 30	3bitri 194	1 |- (D e. Dir <-> (D e. Preset /\ A.x e. X A.y e. X E.z e. X z e. (D ub {x, y})))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592  {cpr 3045  U.cuni 3177  dom cdm 3986  (class class class)co 4884  Dircdir 10348   Preset cpreset 14555   ub cub 14558

This theorem is referenced by:  dirpre 14641  dirub 14642  latdir 14643

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-dir 10350  df-prs 14563  df-ub 14596

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