MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscygodd Structured version   Unicode version

Theorem iscygodd 17105
Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscygodd.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscygodd.o  |-  O  =  ( od `  G
)
iscygodd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
iscygodd.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
iscygodd.5  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
Assertion
Ref Expression
iscygodd  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )

Proof of Theorem iscygodd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscygodd.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 iscygodd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 iscygodd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
4 iscygodd.1 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 iscygodd.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
64, 5odcl 16774 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( O `  X )  e.  NN0 )
72, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  e.  NN0 )
83, 7eqeltrrd 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
9 fvex 5813 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
104, 9eqeltri 2484 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
11 hashclb 12382 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
138, 12sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
14 eqid 2400 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
15 eqid 2400 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
164, 14, 15, 5cyggenod 17101 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
182, 3, 17mpbir2and 921 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
19 ne0i 3741 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
2018, 19syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
214, 14, 15iscyg2 17099 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
221, 20, 21sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   {crab 2755   _Vcvv 3056   (/)c0 3735    |-> cmpt 4450   ran crn 4941   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   NN0cn0 10754   ZZcz 10823   #chash 12357   Basecbs 14731   Grpcgrp 16267  .gcmg 16270   odcod 16763  CycGrpccyg 17094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-omul 7090  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-dvds 14086  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mulg 16274  df-od 16767  df-cyg 17095
This theorem is referenced by:  prmcyg  17110  lt6abl  17111
  Copyright terms: Public domain W3C validator