MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyggen2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iscyggen2 17509
Description: The property of being a cyclic generator for a group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
iscyg3.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
Assertion
Ref Expression
iscyggen2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    y, E    n, X, x, y    n, G, x, y    .x. , n, x, y
Allowed substitution hints:    E( x, n)

Proof of Theorem iscyggen2
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 iscyg3.e . . 3  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyggen 17508 . 2  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
51, 2mulgcl 16768 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
n  .x.  X )  e.  B )
653expa 1207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  X  e.  B
)  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
76an32s 812 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
8 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )
97, 8fmptd 6044 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B )
10 frn 5733 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B )
11 eqss 3446 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) ) ) )
1211baib 913 . . . . 5  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
139, 10, 123syl 18 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 dfss3 3421 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) )
15 ovex 6316 . . . . . . 7  |-  ( n 
.x.  X )  e. 
_V
168, 15elrnmpti 5084 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1716ralbii 2818 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1814, 17bitri 253 . . . 4  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1913, 18syl6bb 265 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) )
2019pm5.32da 646 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( X  e.  B  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B )  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
214, 20syl5bb 261 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    C_ wss 3403    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ZZcz 10934   Basecbs 15114   Grpcgrp 16662  .gcmg 16665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-seq 12211  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669
This theorem is referenced by:  cyggeninv  17511  iscygd  17515  cygznlem3  19133
  Copyright terms: Public domain W3C validator