MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyggen2 Structured version   Unicode version

Theorem iscyggen2 16668
Description: The property of being a cyclic generator for a group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
iscyg3.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
Assertion
Ref Expression
iscyggen2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    y, E    n, X, x, y    n, G, x, y    .x. , n, x, y
Allowed substitution hints:    E( x, n)

Proof of Theorem iscyggen2
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 iscyg3.e . . 3  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyggen 16667 . 2  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
51, 2mulgcl 15952 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
n  .x.  X )  e.  B )
653expa 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  X  e.  B
)  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
76an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
8 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )
97, 8fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B )
10 frn 5728 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B )
11 eqss 3512 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) ) ) )
1211baib 898 . . . . 5  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
139, 10, 123syl 20 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 dfss3 3487 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) )
15 ovex 6300 . . . . . . 7  |-  ( n 
.x.  X )  e. 
_V
168, 15elrnmpti 5244 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1716ralbii 2888 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1814, 17bitri 249 . . . 4  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1913, 18syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) )
2019pm5.32da 641 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( X  e.  B  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B )  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
214, 20syl5bb 257 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3469    |-> cmpt 4498   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ZZcz 10853   Basecbs 14479   Grpcgrp 15716  .gcmg 15720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854
This theorem is referenced by:  cyggeninv  16670  iscygd  16674  cygznlem3  18368
  Copyright terms: Public domain W3C validator