MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyggen2 Structured version   Unicode version

Theorem iscyggen2 17208
Description: The property of being a cyclic generator for a group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
iscyg3.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
Assertion
Ref Expression
iscyggen2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    y, E    n, X, x, y    n, G, x, y    .x. , n, x, y
Allowed substitution hints:    E( x, n)

Proof of Theorem iscyggen2
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 iscyg3.e . . 3  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyggen 17207 . 2  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
51, 2mulgcl 16483 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
n  .x.  X )  e.  B )
653expa 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  X  e.  B
)  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
76an32s 805 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
8 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )
97, 8fmptd 6033 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B )
10 frn 5720 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B )
11 eqss 3457 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) ) ) )
1211baib 904 . . . . 5  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
139, 10, 123syl 18 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 dfss3 3432 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) )
15 ovex 6306 . . . . . . 7  |-  ( n 
.x.  X )  e. 
_V
168, 15elrnmpti 5074 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1716ralbii 2835 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1814, 17bitri 249 . . . 4  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1913, 18syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) )
2019pm5.32da 639 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( X  e.  B  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B )  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
214, 20syl5bb 257 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758    C_ wss 3414    |-> cmpt 4453   ran crn 4824   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ZZcz 10905   Basecbs 14841   Grpcgrp 16377  .gcmg 16380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-seq 12152  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mulg 16384
This theorem is referenced by:  cyggeninv  17210  iscygd  17214  cygznlem3  18906
  Copyright terms: Public domain W3C validator