MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscygd Structured version   Unicode version

Theorem iscygd 16678
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
iscygd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
iscygd.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
iscygd.5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
Assertion
Ref Expression
iscygd  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Distinct variable groups:    y, n, B    n, X, y    n, G, y    ph, y    .x. , n, y
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem iscygd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscygd.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 iscygd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 iscygd.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
43ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
5 iscyg.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 iscyg.2 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
85, 6, 7iscyggen2 16672 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
102, 4, 9mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
)
11 ne0i 3791 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =/=  (/) )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =/=  (/) )
135, 6, 7iscyg2 16673 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
141, 12, 13sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   (/)c0 3785    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ZZcz 10860   Basecbs 14483   Grpcgrp 15720  .gcmg 15724  CycGrpccyg 16668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12071  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-mulg 15858  df-cyg 16669
This theorem is referenced by:  0cyg  16683  ghmcyg  16686  cycsubgcyg  16691  zringcyg  18277  zcyg  18282  frgpcyg  18376
  Copyright terms: Public domain W3C validator