MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscygd Structured version   Unicode version

Theorem iscygd 16486
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
iscygd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
iscygd.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
iscygd.5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
Assertion
Ref Expression
iscygd  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Distinct variable groups:    y, n, B    n, X, y    n, G, y    ph, y    .x. , n, y
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem iscygd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscygd.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 iscygd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 iscygd.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
43ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
5 iscyg.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 iscyg.2 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2454 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
85, 6, 7iscyggen2 16480 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
102, 4, 9mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
)
11 ne0i 3752 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =/=  (/) )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =/=  (/) )
135, 6, 7iscyg2 16481 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
141, 12, 13sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   (/)c0 3746    |-> cmpt 4459   ran crn 4950   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   ZZcz 10758   Basecbs 14293   Grpcgrp 15530  .gcmg 15534  CycGrpccyg 16476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-seq 11925  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-mulg 15668  df-cyg 16477
This theorem is referenced by:  0cyg  16491  ghmcyg  16494  cycsubgcyg  16499  zringcyg  18033  zcyg  18038  frgpcyg  18132
  Copyright terms: Public domain W3C validator