MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyg3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iscyg3 17533
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
iscyg3  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, G, x, y    .x. , n, x, y

Proof of Theorem iscyg3
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2iscyg 17526 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B ) )
41, 2mulgcl 16787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
543expa 1209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  .x.  x )  e.  B
)
65an32s 814 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  x )  e.  B
)
7 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )
86, 7fmptd 6051 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) : ZZ --> B )
9 frn 5740 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B )
10 eqss 3449 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) ) ) )
1110baib 915 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) ) )
128, 9, 113syl 18 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) ) )
13 dfss3 3424 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) )
14 ovex 6323 . . . . . . . 8  |-  ( n 
.x.  x )  e. 
_V
157, 14elrnmpti 5088 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1615ralbii 2821 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1713, 16bitri 253 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1812, 17syl6bb 265 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
1918rexbidva 2900 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
2019pm5.32i 643 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B )  <-> 
( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
213, 20bitri 253 1  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740    C_ wss 3406    |-> cmpt 4464   ran crn 4838   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ZZcz 10944   Basecbs 15133   Grpcgrp 16681  .gcmg 16684  CycGrpccyg 17524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12221  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-cyg 17525
This theorem is referenced by:  cygabl  17537
  Copyright terms: Public domain W3C validator