Theorem iscvm 24899

Description: The property of being a covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscvm.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
iscvm.2	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iscvm	|- ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, x   C, k, s, u, x   x, X   k, F, s, u, x   k, J, s, u, x

Allowed substitution hints:   C( v)   S( x, v, u, k, s)   F( v)   J( v)   X( v, u, k, s)

Proof of Theorem iscvm

Dummy variables c f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 631	. 2 |- ( ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) ) )
2		df-3an 938	. . 3 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ F e. ( C Cn J ) ) )
3	2	anbi1i 677	. 2 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) )
4		df-cvm 24896	. . . 4 |- CovMap = ( c e. Top , j e. Top |-> { f e. ( c Cn j ) | A. x e. U. j E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) } )
5	4	elmpt2cl 6247	. . 3 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> ( C e. Top /\ J e. Top ) )
6		oveq12 6049	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( c Cn j ) = ( C Cn J ) )
7		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> j = J )
8	7	unieqd 3986	. . . . . . . . 9 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> U. j = U. J )
9		iscvm.2	. . . . . . . . 9 |- X = U. J
10	8, 9	syl6eqr 2454	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> U. j = X )
11		simpl 444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> c = C )
12	11	pweqd 3764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ~P c = ~P C )
13	12	difeq1d 3424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ~P c \ { (/) } ) = ( ~P C \ { (/) } ) )
14		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c ↾t u ) = ( C ↾t u ) )
15		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( j ↾t k ) = ( J ↾t k ) )
16	14, 15	oveqan12d 6059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) = ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) )
17	16	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) <-> ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) )
18	17	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) <-> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
19	18	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) <-> A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
21	13, 20	rexeqbidv 2877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
22	21	anbi2d 685	. . . . . . . . 9 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) <-> ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
23	7, 22	rexeqbidv 2877	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) <-> E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
24	10, 23	raleqbidv 2876	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( A. x e. U. j E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) <-> A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
25	6, 24	rabeqbidv 2911	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> { f e. ( c Cn j ) | A. x e. U. j E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) } = { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } )
26		ovex 6065	. . . . . . 7 |- ( C Cn J ) e. _V
27	26	rabex 4314	. . . . . 6 |- { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } e. _V
28	25, 4, 27	ovmpt2a 6163	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( C CovMap J ) = { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } )
29	28	eleq2d 2471	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( F e. ( C CovMap J ) <-> F e. { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } ) )
30		id 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. J -> k e. J )
31		pwexg 4343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. Top -> ~P C e. _V )
32	31	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ~P C e. _V )
33		difexg 4311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P C e. _V -> ( ~P C \ { (/) } ) e. _V )
34		rabexg 4313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ~P C \ { (/) } ) e. _V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } e. _V )
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } e. _V )
36		iscvm.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
37	36	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. J /\ { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } e. _V ) -> ( S ` k ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
38	30, 35, 37	syl2anr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( S ` k ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
39	38	neeq1d 2580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( ( S ` k ) =/= (/) <-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } =/= (/) ) )
40		rabn0 3607	. . . . . . . . . 10 |- ( { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } =/= (/) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
41	39, 40	syl6bb 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( ( S ` k ) =/= (/) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
42	41	anbi2d 685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) <-> ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
43	42	rexbidva 2683	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) <-> E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
44	43	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) <-> A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
45	44	anbi2d 685	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) ) )
46		cnveq 5005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> `' f = `' F )
47	46	imaeq1d 5161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( `' f " k ) = ( `' F " k ) )
48	47	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( U. s = ( `' f " k ) <-> U. s = ( `' F " k ) ) )
49		reseq1 5099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( f |` u ) = ( F |` u ) )
50	49	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) <-> ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) )
51	50	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
52	51	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
53	48, 52	anbi12d 692	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
54	53	rexbidv 2687	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
55	54	anbi2d 685	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) <-> ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
56	55	rexbidv 2687	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) <-> E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
57	56	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) <-> A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
58	57	elrab 3052	. . . . 5 |- ( F e. { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } <-> ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
59	45, 58	syl6bbr 255	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> F e. { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } ) )
60	29, 59	bitr4d 248	. . 3 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) ) )
61	5, 60	biadan2 624	. 2 |- ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) ) )
62	1, 3, 61	3bitr4ri 270	1 |- ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   |` cres 4839   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾_t crest 13603   Topctop 16913   Cn ccn 17242   Homeo chmeo 17738   CovMap ccvm 24895

This theorem is referenced by:  cvmcn  24902  cvmcov  24903

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-cvm 24896