Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscvm Structured version   Unicode version

Theorem iscvm 29991
Description: The property of being a covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvm.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
iscvm.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iscvm  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, x    C, k, s, u, x    x, X    k, F, s, u, x    k, J, s, u, x
Allowed substitution hints:    C( v)    S( x, v, u, k, s)    F( v)    J( v)    X( v, u, k, s)

Proof of Theorem iscvm
Dummy variables  c 
f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 653 . 2  |-  ( ( ( ( C  e. 
Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
2 df-3an 984 . . 3  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) ) )
32anbi1i 699 . 2  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J ) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( (
( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J ) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) ) ) )
4 df-cvm 29988 . . . 4  |- CovMap  =  ( c  e.  Top , 
j  e.  Top  |->  { f  e.  ( c  Cn  j )  | 
A. x  e.  U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) ) ) ) } )
54elmpt2cl 6526 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( C  e.  Top  /\  J  e. 
Top ) )
6 oveq12 6315 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( c  Cn  j
)  =  ( C  Cn  J ) )
7 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  j  =  J )
87unieqd 4229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  U. J )
9 iscvm.2 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
108, 9syl6eqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  X )
11 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  c  =  C )
1211pweqd 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ~P c  =  ~P C )
1312difeq1d 3582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ~P c  \  { (/) } )  =  ( ~P C  \  { (/) } ) )
14 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
ct  u )  =  ( Ct  u ) )
15 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
jt  k )  =  ( Jt  k ) )
1614, 15oveqan12d 6325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) )  =  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) )
1716eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) Homeo ( jt  k ) )  <->  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )
1817anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
1918ralbidv 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
2019anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) Homeo ( jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' f "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2113, 20rexeqbidv 3037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) ) )  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2221anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
237, 22rexeqbidv 3037 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) ) ) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
2410, 23raleqbidv 3036 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( A. x  e. 
U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
256, 24rabeqbidv 3075 . . . . . 6  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  { f  e.  ( c  Cn  j )  |  A. x  e. 
U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )
Homeo ( jt  k ) ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) } )
26 ovex 6334 . . . . . . 7  |-  ( C  Cn  J )  e. 
_V
2726rabex 4575 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( C  Cn  J )  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) }  e.  _V
2825, 4, 27ovmpt2a 6442 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( C CovMap  J )  =  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) } )
2928eleq2d 2492 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( C CovMap  J )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J )  | 
A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) } ) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  J  ->  k  e.  J )
31 pwexg 4608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  Top  ->  ~P C  e.  _V )
3231adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ~P C  e.  _V )
33 difexg 4572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P C  e.  _V  ->  ( ~P C  \  { (/)
} )  e.  _V )
34 rabexg 4574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ~P C  \  { (/)
} )  e.  _V  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )
36 iscvm.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
3736fvmpt2 5974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  J  /\  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( S `  k
)  =  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
3830, 35, 37syl2anr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( S `  k )  =  {
s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) } )
3938neeq1d 2697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( ( S `  k )  =/=  (/)  <->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  =/=  (/) ) )
40 rabn0 3782 . . . . . . . . . 10  |-  ( { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
4139, 40syl6bb 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( ( S `  k )  =/=  (/)  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) )
4241anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4342rexbidva 2933 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4443ralbidv 2861 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4544anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) ) )
46 cnveq 5027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
4746imaeq1d 5186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " k
)  =  ( `' F " k ) )
4847eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( U. s  =  ( `' f " k
)  <->  U. s  =  ( `' F " k ) ) )
49 reseq1 5118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  u )  =  ( F  |`  u
) )
5049eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )
5150anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
5251ralbidv 2861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )
5348, 52anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( U. s  =  ( `' f "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) )
5453rexbidv 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) )  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) )
5554anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5655rexbidv 2936 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5756ralbidv 2861 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5857elrab 3228 . . . . 5  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) }  <-> 
( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )
Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5945, 58syl6bbr 266 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J )  | 
A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) Homeo ( Jt  k ) ) ) ) ) } ) )
6029, 59bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( C CovMap  J )  <->  ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
615, 60biadan2 646 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
621, 3, 613bitr4ri 281 1  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    i^i cin 3435   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U.cuni 4219    |-> cmpt 4482   `'ccnv 4852    |` cres 4855   "cima 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   ↾t crest 15319   Topctop 19916    Cn ccn 20239   Homeochmeo 20767   CovMap ccvm 29987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-cvm 29988
This theorem is referenced by:  cvmcn  29994  cvmcov  29995
  Copyright terms: Public domain W3C validator