Theorem iscvm 30054

Description: The property of being a covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscvm.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
iscvm.2	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
iscvm	|- ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, x   C, k, s, u, x   x, X   k, F, s, u, x   k, J, s, u, x

Allowed substitution hints:   C( v)   S( x, v, u, k, s)   F( v)   J( v)   X( v, u, k, s)

Proof of Theorem iscvm

Dummy variables c f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 661	. 2 |- ( ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) ) )
2		df-3an 1009	. . 3 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ F e. ( C Cn J ) ) )
3	2	anbi1i 709	. 2 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) )
4		df-cvm 30051	. . . 4 |- CovMap = ( c e. Top , j e. Top |-> { f e. ( c Cn j ) | A. x e. U. j E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) } )
5	4	elmpt2cl 6530	. . 3 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> ( C e. Top /\ J e. Top ) )
6		oveq12 6317	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( c Cn j ) = ( C Cn J ) )
7		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> j = J )
8	7	unieqd 4200	. . . . . . . . 9 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> U. j = U. J )
9		iscvm.2	. . . . . . . . 9 |- X = U. J
10	8, 9	syl6eqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> U. j = X )
11		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> c = C )
12	11	pweqd 3947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ~P c = ~P C )
13	12	difeq1d 3539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ~P c \ { (/) } ) = ( ~P C \ { (/) } ) )
14		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c ↾t u ) = ( C ↾t u ) )
15		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( j ↾t k ) = ( J ↾t k ) )
16	14, 15	oveqan12d 6327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) = ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) )
17	16	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) <-> ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) )
18	17	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) <-> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
19	18	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) <-> A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
21	13, 20	rexeqbidv 2988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
22	21	anbi2d 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) <-> ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
23	7, 22	rexeqbidv 2988	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) <-> E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
24	10, 23	raleqbidv 2987	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> ( A. x e. U. j E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) <-> A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
25	6, 24	rabeqbidv 3026	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ j = J ) -> { f e. ( c Cn j ) | A. x e. U. j E. k e. j ( x e. k /\ E. s e. ( ~P c \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( c ↾t u ) Homeo ( j ↾t k ) ) ) ) ) } = { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } )
26		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( C Cn J ) e. _V
27	26	rabex 4550	. . . . . 6 |- { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } e. _V
28	25, 4, 27	ovmpt2a 6446	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( C CovMap J ) = { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } )
29	28	eleq2d 2534	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( F e. ( C CovMap J ) <-> F e. { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } ) )
30		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. J -> k e. J )
31		pwexg 4585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. Top -> ~P C e. _V )
32	31	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ~P C e. _V )
33		difexg 4545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P C e. _V -> ( ~P C \ { (/) } ) e. _V )
34		rabexg 4549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ~P C \ { (/) } ) e. _V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } e. _V )
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } e. _V )
36		iscvm.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
37	36	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. J /\ { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } e. _V ) -> ( S ` k ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
38	30, 35, 37	syl2anr 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( S ` k ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
39	38	neeq1d 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( ( S ` k ) =/= (/) <-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } =/= (/) ) )
40		rabn0 3755	. . . . . . . . . 10 |- ( { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } =/= (/) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
41	39, 40	syl6bb 269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( ( S ` k ) =/= (/) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
42	41	anbi2d 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ k e. J ) -> ( ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) <-> ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
43	42	rexbidva 2889	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) <-> E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
44	43	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) <-> A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
45	44	anbi2d 718	. . . . 5 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) ) )
46		cnveq 5013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> `' f = `' F )
47	46	imaeq1d 5173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( `' f " k ) = ( `' F " k ) )
48	47	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( U. s = ( `' f " k ) <-> U. s = ( `' F " k ) ) )
49		reseq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( f |` u ) = ( F |` u ) )
50	49	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) <-> ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) )
51	50	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
52	51	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
53	48, 52	anbi12d 725	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
54	53	rexbidv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
55	54	anbi2d 718	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) <-> ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
56	55	rexbidv 2892	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) <-> E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
57	56	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) <-> A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
58	57	elrab 3184	. . . . 5 |- ( F e. { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } <-> ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) ) )
59	45, 58	syl6bbr 271	. . . 4 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) <-> F e. { f e. ( C Cn J ) | A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ E. s e. ( ~P C \ { (/) } ) ( U. s = ( `' f " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( f |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) } ) )
60	29, 59	bitr4d 264	. . 3 |- ( ( C e. Top /\ J e. Top ) -> ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) ) )
61	5, 60	biadan2 654	. 2 |- ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top ) /\ ( F e. ( C Cn J ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) ) )
62	1, 3, 61	3bitr4ri 286	1 |- ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. X E. k e. J ( x e. k /\ ( S ` k ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   |` cres 4841   "cima 4842   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   Topctop 19994   Cn ccn 20317   Homeochmeo 20845   CovMap ccvm 30050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-cvm 30051

This theorem is referenced by:  cvmcn  30057  cvmcov  30058