Theorem iscsubsp 17209

Description: The predicate "is a closed subspace" (of a pre-Hilbert space).

Hypotheses

Ref	Expression
iscsubsp.v	|- V = (vbase` H)
iscsubsp.o	|- O = (ocv` H)
iscsubsp.c	|- C = (CSubSp` H)

Assertion

Ref	Expression
iscsubsp	|- (H e. A -> (S e. C <-> (S C_ V /\ S = (O` (O` S)))))

Proof of Theorem iscsubsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscsubsp.v	. . . 4 |- V = (vbase` H)
2		iscsubsp.o	. . . 4 |- O = (ocv` H)
3		iscsubsp.c	. . . 4 |- C = (CSubSp` H)
4	1, 2, 3	csubspset 17208	. . 3 |- (H e. A -> C = {s | (s C_ V /\ s = (O` (O` s)))})
5	4	eleq2d 1964	. 2 |- (H e. A -> (S e. C <-> S e. {s | (s C_ V /\ s = (O` (O` s)))}))
6		fvex 4689	. . . . . 6 |- (vbase` H) e. _V
7	1, 6	eqeltri 1967	. . . . 5 |- V e. _V
8	7	ssex 3455	. . . 4 |- (S C_ V -> S e. _V)
9	8	adantr 425	. . 3 |- ((S C_ V /\ S = (O` (O` S))) -> S e. _V)
10		sseq1 2637	. . . 4 |- (s = S -> (s C_ V <-> S C_ V))
11		id 73	. . . . 5 |- (s = S -> s = S)
12		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (s = S -> (O` s) = (O` S))
13	12	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (s = S -> (O` (O` s)) = (O` (O` S)))
14	11, 13	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (s = S -> (s = (O` (O` s)) <-> S = (O` (O` S))))
15	10, 14	anbi12d 690	. . 3 |- (s = S -> ((s C_ V /\ s = (O` (O` s))) <-> (S C_ V /\ S = (O` (O` S)))))
16	9, 15	elab3 2412	. 2 |- (S e. {s | (s C_ V /\ s = (O` (O` s)))} <-> (S C_ V /\ S = (O` (O` S))))
17	5, 16	syl6bb 595	1 |- (H e. A -> (S e. C <-> (S C_ V /\ S = (O` (O` S)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ` cfv 3998  vbasecvbase 17180  ocvcocv 17197  CSubSpccsubsp 17198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-csubsp 17202

Copyright terms: Public domain