MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss2 Structured version   Unicode version

Theorem iscss2 18907
Description: It is sufficient to prove that the double orthocomplement is a subset of the target set to show that the set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cssss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
ocvcss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
iscss2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)

Proof of Theorem iscss2
StepHypRef Expression
1 ocvcss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2 cssss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2iscss 18904 . . 3  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
5 cssss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
65, 1ocvocv 18892 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
7 eqss 3456 . . . 4  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <-> 
( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  S
) )
87baib 904 . . 3  |-  ( S 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
96, 8syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) 
C_  S ) )
104, 9bitrd 253 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   ` cfv 5525   Basecbs 14733   PreHilcphl 18849   ocvcocv 18881   CSubSpccss 18882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-grp 16273  df-ghm 16481  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-rnghom 17576  df-staf 17706  df-srng 17707  df-lmod 17726  df-lmhm 17880  df-lvec 17961  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-phl 18851  df-ocv 18884  df-css 18885
This theorem is referenced by:  ocvcss  18908  lsmcss  18913  cssmre  18914
  Copyright terms: Public domain W3C validator