MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss Structured version   Unicode version

Theorem iscss 18234
Description: The predicate "is a closed subspace" (of a pre-Hilbert space). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
iscss  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )

Proof of Theorem iscss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssval 18233 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  C  =  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } )
43eleq2d 2524 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } ) )
5 id 22 . . . 4  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
6 fvex 5810 . . . 4  |-  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  e.  _V
75, 6syl6eqel 2550 . . 3  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  e.  _V )
8 id 22 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
9 fveq2 5800 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  s )  =  (  ._|_  `  S ) )
109fveq2d 5804 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
118, 10eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) )  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
127, 11elab3 3220 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) }  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
134, 12syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   _Vcvv 3078   ` cfv 5527   ocvcocv 18211   CSubSpccss 18212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-fv 5535  df-ov 6204  df-ocv 18214  df-css 18215
This theorem is referenced by:  cssi  18235  iscss2  18237  obslbs  18281  hlhillcs  35945
  Copyright terms: Public domain W3C validator