MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss Structured version   Unicode version

Theorem iscss 18828
Description: The predicate "is a closed subspace" (of a pre-Hilbert space). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
iscss  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )

Proof of Theorem iscss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssval 18827 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  C  =  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } )
43eleq2d 2466 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } ) )
5 id 22 . . . 4  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
6 fvex 5801 . . . 4  |-  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  e.  _V
75, 6syl6eqel 2492 . . 3  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  e.  _V )
8 id 22 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
9 fveq2 5791 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  s )  =  (  ._|_  `  S ) )
109fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
118, 10eqeq12d 2418 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) )  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
127, 11elab3 3195 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) }  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
134, 12syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1836   {cab 2381   _Vcvv 3051   ` cfv 5513   ocvcocv 18805   CSubSpccss 18806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-fv 5521  df-ov 6221  df-ocv 18808  df-css 18809
This theorem is referenced by:  cssi  18829  iscss2  18831  obslbs  18875  hlhillcs  38140
  Copyright terms: Public domain W3C validator