Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscringd Structured version   Unicode version

Theorem iscringd 28818
Description: Conditions that determine a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscringd.1  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
iscringd.2  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
iscringd.3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
iscringd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
iscringd.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
iscringd.6  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
iscringd.7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
iscringd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
Assertion
Ref Expression
iscringd  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e. CRingOps )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, G, y, z    x, H, y, z    x, X, y, z    x, U, y
Allowed substitution hint:    U( z)

Proof of Theorem iscringd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscringd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
2 iscringd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
3 iscringd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
4 iscringd.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
5 iscringd.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
6 id 22 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) )
763com13 1192 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) )
8 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  X  <->  z  e.  X ) )
983anbi1d 1293 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
)  <->  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) ) )
109anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
( ph  /\  (
w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) ) ) )
11 oveq2 6114 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( x G y ) H w )  =  ( ( x G y ) H z ) )
12 oveq2 6114 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
x H w )  =  ( x H z ) )
13 oveq2 6114 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
y H w )  =  ( y H z ) )
1412, 13oveq12d 6124 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( x H w ) G ( y H w ) )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
1511, 14eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) )  <->  ( (
x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
1610, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) )  ->  (
( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
17 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  X  <->  x  e.  X ) )
18173anbi3d 1295 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
)  <->  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) ) )
1918anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  (
w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) ) ) )
20 oveq1 6113 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z G y )  =  ( x G y ) )
2120oveq1d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z G y ) H w )  =  ( ( x G y ) H w ) )
22 oveq1 6113 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z H w )  =  ( x H w ) )
2322oveq1d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z H w ) G ( y H w ) )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )
2421, 23eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) )  <->  ( (
x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) ) )
2519, 24imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) ) ) )
26 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  X  <->  w  e.  X ) )
27263anbi1d 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
)  <->  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) ) )
2827anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) ) ) )
29 oveq2 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( z G y ) H x )  =  ( ( z G y ) H w ) )
30 oveq2 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
z H x )  =  ( z H w ) )
31 oveq2 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
y H x )  =  ( y H w ) )
3230, 31oveq12d 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( z H x ) G ( y H x ) )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )
3329, 32eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( z G y ) H x )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) )  <->  ( (
z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) ) )
3428, 33imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( z G y ) H x )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) ) ) )
351adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  G  e.  AbelOp )
36 simpr3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
372adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  X  =  ran  G )
3836, 37eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  ran  G
)
39 simpr2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
4039, 37eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  ran  G
)
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  G  =  ran  G
4241ablocom 23787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  z  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G )  -> 
( z G y )  =  ( y G z ) )
4335, 38, 40, 42syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z G y )  =  ( y G z ) )
4443oveq1d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H x )  =  ( ( y G z ) H x ) )
45 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
46 ablogrpo 23786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
4735, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  G  e.  GrpOp )
4841grpocl 23702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  ran  G  /\  z  e.  ran  G )  -> 
( y G z )  e.  ran  G
)
4947, 40, 38, 48syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y G z )  e.  ran  G
)
5049, 37eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y G z )  e.  X )
5145, 50jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) )
52 ovex 6131 . . . . . . . . . 10  |-  ( y G z )  e. 
_V
53 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
w  e.  X  <->  ( y G z )  e.  X ) )
5453anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( x  e.  X  /\  w  e.  X
)  <->  ( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) ) )
5554anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  w  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) ) ) )
56 oveq2 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
x H w )  =  ( x H ( y G z ) ) )
57 oveq1 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
w H x )  =  ( ( y G z ) H x ) )
5856, 57eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( x H w )  =  ( w H x )  <->  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) ) )
5955, 58imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
x H w )  =  ( w H x ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) ) ) )
60 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  X  <->  w  e.  X ) )
6160anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  <->  ( x  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )
6261anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X
) ) ) )
63 oveq2 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
x H y )  =  ( x H w ) )
64 oveq1 6113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y H x )  =  ( w H x ) )
6563, 64eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( x H y )  =  ( y H x )  <->  ( x H w )  =  ( w H x ) ) )
6662, 65imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x H y )  =  ( y H x ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( x H w )  =  ( w H x ) ) ) )
67 iscringd.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
6866, 67chvarv 1958 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( x H w )  =  ( w H x ) )
6952, 59, 68vtocl 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y G z )  e.  X ) )  ->  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) )
7051, 69syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) )
71673adantr3 1149 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
72 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  X  <->  z  e.  X ) )
7372anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) ) )
7473anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X
) ) ) )
75 oveq2 6114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
x H y )  =  ( x H z ) )
76 oveq1 6113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
y H x )  =  ( z H x ) )
7775, 76eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( x H y )  =  ( y H x )  <->  ( x H z )  =  ( z H x ) ) )
7874, 77imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x H y )  =  ( y H x ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H z )  =  ( z H x ) ) ) )
7978, 67chvarv 1958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H z )  =  ( z H x ) )
80793adantr2 1148 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H z )  =  ( z H x ) )
8171, 80oveq12d 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) G ( x H z ) )  =  ( ( y H x ) G ( z H x ) ) )
823adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
8382, 39, 45fovrnd 6250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y H x )  e.  X )
8483, 37eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y H x )  e.  ran  G
)
8582, 36, 45fovrnd 6250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z H x )  e.  X )
8685, 37eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z H x )  e.  ran  G
)
8741ablocom 23787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
y H x )  e.  ran  G  /\  ( z H x )  e.  ran  G
)  ->  ( (
y H x ) G ( z H x ) )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
8835, 84, 86, 87syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y H x ) G ( z H x ) )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
895, 81, 883eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
9044, 70, 893eqtr2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H x )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
9134, 90chvarv 1958 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )
9225, 91chvarv 1958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )
9316, 92chvarv 1958 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
947, 93sylan2 474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
95 iscringd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
9695adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  e.  X )
97 oveq1 6113 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  (
x H y )  =  ( U H y ) )
98 oveq2 6114 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  (
y H x )  =  ( y H U ) )
9997, 98eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  (
( x H y )  =  ( y H x )  <->  ( U H y )  =  ( y H U ) ) )
10099imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  X )  ->  ( x H y )  =  ( y H x ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  ( y H U ) ) ) )
10167an12s 799 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ph  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
102101ex 434 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  (
( ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x H y )  =  ( y H x ) ) )
103100, 102vtoclga 3051 . . . . 5  |-  ( U  e.  X  ->  (
( ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  ( y H U ) ) )
10496, 103mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  ( y H U ) )
105 iscringd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
106104, 105eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
1071, 2, 3, 4, 5, 94, 95, 106, 105isrngod 23881 . 2  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
1082eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  ran  G ) )
1092eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  ran  G ) )
110108, 109anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  <->  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) ) )
111110biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
112111, 67syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( x H y )  =  ( y H x ) )
113112ralrimivva 2823 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( x H y )  =  ( y H x ) )
114 rnexg 6525 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ran  G  e.  _V )
1151, 114syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
1162, 115eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
117 xpexg 6522 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
118116, 116, 117syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
119 fex 5965 . . . . 5  |-  ( ( H : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( X  X.  X )  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
1203, 118, 119syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
121 iscom2 23914 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H  e.  _V )  ->  ( <. G ,  H >.  e. 
Com2 
<-> 
A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( x H y )  =  ( y H x ) ) )
1221, 120, 121syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. G ,  H >.  e.  Com2  <->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( x H y )  =  ( y H x ) ) )
123113, 122mpbird 232 . 2  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e. 
Com2 )
124 iscrngo 28816 . 2  |-  ( <. G ,  H >.  e. CRingOps  <->  (
<. G ,  H >.  e.  RingOps 
/\  <. G ,  H >.  e.  Com2 ) )
125107, 123, 124sylanbrc 664 1  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e. CRingOps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   _Vcvv 2987   <.cop 3898    X. cxp 4853   ran crn 4856   -->wf 5429  (class class class)co 6106   GrpOpcgr 23688   AbelOpcablo 23783   RingOpscrngo 23877   Com2ccm2 23912  CRingOpsccring 28814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-grpo 23693  df-ablo 23784  df-rngo 23878  df-com2 23913  df-crngo 28815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator