Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscplgredg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iscplgredg 39468
Description: A graph is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscplgr.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
iscplgredg.v  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
iscplgredg  |-  ( G  e.  W  ->  ( G  e. ComplGraph  <->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
) )
Distinct variable groups:    v, G    v, V    n, G, v   
n, V    v, W    e, E    e, G    e, V    e, W, n, v
Allowed substitution hints:    E( v, n)

Proof of Theorem iscplgredg
StepHypRef Expression
1 iscplgr.v . . 3  |-  V  =  (Vtx `  G )
21iscplgrnb 39467 . 2  |-  ( G  e.  W  ->  ( G  e. ComplGraph  <->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) )
3 df-3an 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  V  /\  v  e.  V
)  /\  n  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
)  <->  ( ( ( n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v
)  /\  E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
) )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  n  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( ( n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
)  <->  ( ( ( n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v
)  /\  E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
) ) )
5 iscplgredg.v . . . . . . 7  |-  E  =  (Edg `  G )
61, 5nbgrel 39393 . . . . . 6  |-  ( G  e.  W  ->  (
n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( (
n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e ) ) )
76ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  n  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( (
n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v  /\  E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e ) ) )
8 eldifsn 4096 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( V  \  { v } )  <-> 
( n  e.  V  /\  n  =/=  v
) )
9 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
10 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  V  /\  n  =/=  v )  ->  n  e.  V )
119, 10anim12ci 570 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  ( n  e.  V  /\  n  =/=  v ) )  -> 
( n  e.  V  /\  v  e.  V
) )
12 simprr 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  ( n  e.  V  /\  n  =/=  v ) )  ->  n  =/=  v )
1311, 12jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  ( n  e.  V  /\  n  =/=  v ) )  -> 
( ( n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v ) )
148, 13sylan2b 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  n  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( ( n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v ) )
1514biantrurd 511 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  n  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e  <->  ( ( ( n  e.  V  /\  v  e.  V )  /\  n  =/=  v )  /\  E. e  e.  E  {
v ,  n }  C_  e ) ) )
164, 7, 153bitr4d 289 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V
)  /\  n  e.  ( V  \  { v } ) )  -> 
( n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
) )
1716ralbidva 2823 . . 3  |-  ( ( G  e.  W  /\  v  e.  V )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. n  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
) )
1817ralbidva 2823 . 2  |-  ( G  e.  W  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) E. e  e.  E  {
v ,  n }  C_  e ) )
192, 18bitrd 257 1  |-  ( G  e.  W  ->  ( G  e. ComplGraph  <->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) E. e  e.  E  { v ,  n }  C_  e
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3400    C_ wss 3403   {csn 3967   {cpr 3969   ` cfv 5581  (class class class)co 6288  Vtxcvtx 39087  Edgcedga 39196   NeighbVtx cnbgr 39380  ComplGraphccplgr 39382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-nbgr 39384  df-uvtxa 39386  df-cplgr 39387
This theorem is referenced by:  cplgrop  39487
  Copyright terms: Public domain W3C validator