MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isconngra1 Structured version   Unicode version

Theorem isconngra1 23510
Description: The property of being a connected graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
isconngra1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V ConnGrph  E  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( V PathOn  E ) n ) p ) )
Distinct variable groups:    f, V, k, n, p    f, E, k, n, p
Allowed substitution hints:    X( f, k, n, p)    Y( f,
k, n, p)

Proof of Theorem isconngra1
Dummy variables  v 
e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  v  =  V )
21difeq1d 3468 . . . 4  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( v  \  {
k } )  =  ( V  \  {
k } ) )
3 oveq12 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( v PathOn  e )  =  ( V PathOn  E
) )
43oveqd 6103 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( k ( v PathOn 
e ) n )  =  ( k ( V PathOn  E ) n ) )
54breqd 4298 . . . . 5  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( f ( k ( v PathOn  e ) n ) p  <->  f (
k ( V PathOn  E
) n ) p ) )
652exbidv 1682 . . . 4  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p  <->  E. f E. p  f (
k ( V PathOn  E
) n ) p ) )
72, 6raleqbidv 2926 . . 3  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( V PathOn  E
) n ) p ) )
81, 7raleqbidv 2926 . 2  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( A. k  e.  v  A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) E. f E. p  f ( k ( V PathOn  E ) n ) p ) )
9 dfconngra1 23508 . 2  |- ConnGrph  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v 
A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p }
108, 9brabga 4598 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V ConnGrph  E  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( V PathOn  E ) n ) p ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2710    \ cdif 3320   {csn 3872   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   PathOn cpthon 23362   ConnGrph cconngra 23506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-wlk 23366  df-trail 23367  df-pth 23368  df-wlkon 23372  df-pthon 23374  df-conngra 23507
This theorem is referenced by:  cusconngra  23513  frconngra  30566
  Copyright terms: Public domain W3C validator