MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscon2 Structured version   Unicode version

Theorem iscon2 19018
Description: The predicate  J is a connected topology . (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscon.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iscon2  |-  ( J  e.  Con  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) ,  X } ) )

Proof of Theorem iscon2
StepHypRef Expression
1 iscon.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21iscon 19017 . 2  |-  ( J  e.  Con  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  =  { (/)
,  X } ) )
3 0opn 18517 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
4 0cld 18642 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
53, 4elind 3540 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
61topopn 18519 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
71topcld 18639 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
86, 7elind 3540 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
9 prssi 4029 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  /\  X  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )  ->  { (/) ,  X }  C_  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
) )
105, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  { (/) ,  X }  C_  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) ) )
1110biantrud 507 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) 
C_  { (/) ,  X } 
<->  ( ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  C_  { (/) ,  X }  /\  { (/) ,  X }  C_  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
) ) ) )
12 eqss 3371 . . . 4  |-  ( ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  =  { (/) ,  X }  <->  ( ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) 
C_  { (/) ,  X }  /\  { (/) ,  X }  C_  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
) ) )
1311, 12syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  =  { (/) ,  X } 
<->  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) 
C_  { (/) ,  X } ) )
1413pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  =  { (/) ,  X } )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) ,  X } ) )
152, 14bitri 249 1  |-  ( J  e.  Con  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) ,  X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {cpr 3879   U.cuni 4091   ` cfv 5418   Topctop 18498   Clsdccld 18620   Conccon 19015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-top 18503  df-cld 18623  df-con 19016
This theorem is referenced by:  indiscon  19022  dfcon2  19023  cnconn  19026  txcon  19262  filcon  19456  onsucconi  28283
  Copyright terms: Public domain W3C validator