Theorem iscon2 10340

Description: The predicate J is a connected topology . (Contributed by FL, 17-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iscon2	|- (J e. Con <-> (J e. Top /\ (J i^i (Clsd` J)) = {(/), U.J}))

Proof of Theorem iscon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 73	. . . 4 |- (j = J -> j = J)
2		fveq2 4681	. . . 4 |- (j = J -> (Clsd` j) = (Clsd` J))
3	1, 2	ineq12d 2797	. . 3 |- (j = J -> (j i^i (Clsd` j)) = (J i^i (Clsd` J)))
4		unieq 3185	. . . 4 |- (j = J -> U.j = U.J)
5		preq2 3099	. . . 4 |- (U.j = U.J -> {(/), U.j} = {(/), U.J})
6	4, 5	syl 12	. . 3 |- (j = J -> {(/), U.j} = {(/), U.J})
7	3, 6	eqeq12d 1899	. 2 |- (j = J -> ((j i^i (Clsd` j)) = {(/), U.j} <-> (J i^i (Clsd` J)) = {(/), U.J}))
8		df-con 10338	. 2 |- Con = {j e. Top | (j i^i (Clsd` j)) = {(/), U.j}}
9	7, 8	elrab2 2416	1 |- (J e. Con <-> (J e. Top /\ (J i^i (Clsd` J)) = {(/), U.J}))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {cpr 3045  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  Conccon 10337

This theorem is referenced by:  usinuniop 10341  contop 10342  intopcon 14964  cnconn 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-con 10338

Copyright terms: Public domain