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Theorem iscnp4 20356
 Description: The predicate " is a continuous function from topology to topology at point ." in terms of neighborhoods. (Contributed by FL, 18-Jul-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp4 TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem iscnp4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 20343 . . . . . 6 TopOn TopOn
213expa 1231 . . . . 5 TopOn TopOn
323adantl3 1188 . . . 4 TopOn TopOn
4 simplr 770 . . . . . . 7 TopOn TopOn
5 simpll2 1070 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
6 topontop 20018 . . . . . . . . 9 TopOn
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
8 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
98neii1 20199 . . . . . . . . 9
107, 9sylancom 680 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
118ntropn 20141 . . . . . . . 8
127, 10, 11syl2anc 673 . . . . . . 7 TopOn TopOn
13 simpr 468 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
143adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
15 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
1614, 15ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
17 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
185, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
1916, 18eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
2019snssd 4108 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
218neiint 20197 . . . . . . . . . 10
227, 20, 10, 21syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
2313, 22mpbid 215 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
24 fvex 5889 . . . . . . . . 9
2524snss 4087 . . . . . . . 8
2623, 25sylibr 217 . . . . . . 7 TopOn TopOn
27 cnpimaex 20349 . . . . . . 7
284, 12, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . 6 TopOn TopOn
29 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
3029ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn TopOn
31 topontop 20018 . . . . . . . . . . 11 TopOn
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
33 simprl 772 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
34 simprrl 782 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
35 opnneip 20212 . . . . . . . . . 10
3632, 33, 34, 35syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
37 simprrr 783 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
388ntrss2 20149 . . . . . . . . . . . 12
397, 10, 38syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
4039adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
4137, 40sstrd 3428 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
4236, 41jca 541 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
4342ex 441 . . . . . . 7 TopOn TopOn
4443reximdv2 2855 . . . . . 6 TopOn TopOn
4528, 44mpd 15 . . . . 5 TopOn TopOn
4645ralrimiva 2809 . . . 4 TopOn TopOn
473, 46jca 541 . . 3 TopOn TopOn
4847ex 441 . 2 TopOn TopOn
49 simpll2 1070 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn TopOn
5049, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
51 simprl 772 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
52 simprr 774 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
53 opnneip 20212 . . . . . . . . . 10
5450, 51, 52, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
55 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn TopOn
5655ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn TopOn
5756, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
58 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
6059neii1 20199 . . . . . . . . . . . . 13
6157, 58, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
6259ntropn 20141 . . . . . . . . . . . 12
6357, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
64 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn TopOn
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
66 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
6756, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
6865, 67eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
6968snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
7059neiint 20197 . . . . . . . . . . . . . 14
7157, 69, 61, 70syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
7258, 71mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
73 snssg 4096 . . . . . . . . . . . . 13
7465, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
7572, 74mpbird 240 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
7659ntrss2 20149 . . . . . . . . . . . . . 14
7757, 61, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
78 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
80 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
8179, 80sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
82 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13
83 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . 14
8483sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . 13
8582, 84anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12
8685rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11
8763, 75, 81, 86syl12anc 1290 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
8887rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
8954, 88embantd 55 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
9089ex 441 . . . . . . 7 TopOn TopOn
9190com23 80 . . . . . 6 TopOn TopOn
9291exp4a 617 . . . . 5 TopOn TopOn
9392ralimdv2 2804 . . . 4 TopOn TopOn
9493imdistanda 707 . . 3 TopOn TopOn
95 iscnp 20330 . . 3 TopOn TopOn
9694, 95sylibrd 242 . 2 TopOn TopOn
9748, 96impbid 195 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  csn 3959  cuni 4190  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  ctop 19994  TopOnctopon 19995  cnt 20109  cnei 20190   ccnp 20318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cnp 20321 This theorem is referenced by:  cnnei  20375
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