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Theorem iscnp4 19637
Description: The predicate " F is a continuous function from topology J to topology K at point P." in terms of neighborhoods. (Contributed by FL, 18-Jul-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, P, y   x, X, y   x, Y, y
Proof of Theorem iscnp4
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 19624 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
213expa 1197 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
323adantl3 1155 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
4 simplr 755 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
5 simpll2 1037 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
6 topontop 19300 . . . . . . . . 9 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> K e. Top )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
98neii1 19480 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y C_ U. K )
107, 9sylancom 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y C_ U. K )
118ntropn 19423 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K ) -> ( ( int ` K ) ` y ) e. K )
127, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) e. K )
13 simpr 461 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
143adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> F : X --> Y )
15 simpll3 1038 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> P e. X )
1614, 15ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
17 toponuni 19301 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
185, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> Y = U. K )
1916, 18eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
2019snssd 4160 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> { ( F ` P ) } C_ U. K )
218neiint 19478 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Top /\ { ( F ` P ) } C_ U. K /\ y C_ U. K ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
227, 20, 10, 21syl3anc 1229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
2313, 22mpbid 210 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
24 fvex 5866 . . . . . . . . 9 |- ( F ` P ) e. _V
2524snss 4139 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
2623, 25sylibr 212 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) )
27 cnpimaex 19630 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ ( ( int ` K ) ` y ) e. K /\ ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
284, 12, 26, 27syl3anc 1229 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
29 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
31 topontop 19300 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> J e. Top )
33 simprl 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> x e. J )
34 simprrl 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> P e. x )
35 opnneip 19493 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
37 simprrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
388ntrss2 19431 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
397, 10, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
4039adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
4137, 40sstrd 3499 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( F " x ) C_ y )
4236, 41jca 532 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) )
4342ex 434 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
4443reximdv2 2914 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) )
4528, 44mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y )
4645ralrimiva 2857 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y )
473, 46jca 532 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) )
4847ex 434 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
49 simpll2 1037 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5049, 6syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> K e. Top )
51 simprl 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> y e. K )
52 simprr 757 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( F ` P ) e. y )
53 opnneip 19493 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Top /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
55 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5756, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> J e. Top )
58 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
6059neii1 19480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> x C_ U. J )
6157, 58, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> x C_ U. J )
6259ntropn 19423 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` x ) e. J )
6357, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( int ` J ) ` x ) e. J )
64 simpll3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> P e. X )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. X )
66 toponuni 19301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6756, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> X = U. J )
6865, 67eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. U. J )
6968snssd 4160 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> { P } C_ U. J )
7059neiint 19478 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ U. J /\ x C_ U. J ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7157, 69, 61, 70syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7258, 71mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) )
73 snssg 4148 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. X -> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7465, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7572, 74mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. ( ( int ` J ) ` x ) )
7659ntrss2 19431 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` x ) C_ x )
7757, 61, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( int ` J ) ` x ) C_ x )
78 imass2 5362 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( int ` J ) ` x ) C_ x -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ ( F " x ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ ( F " x ) )
80 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " x ) C_ y )
8179, 80sstrd 3499 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y )
82 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( P e. z <-> P e. ( ( int ` J ) ` x ) ) )
83 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( F " z ) = ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) )
8483sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) )
8582, 84anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) /\ ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) ) )
8685rspcev 3196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( int ` J ) ` x ) e. J /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) /\ ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
8763, 75, 81, 86syl12anc 1227 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
8887rexlimdvaa 2936 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
8954, 88embantd 54 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
9089ex 434 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9190com23 78 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9291exp4a 606 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( y e. K -> ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
9392ralimdv2 2850 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y -> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9493imdistanda 693 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
95 iscnp 19611 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
9694, 95sylibrd 234 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
9748, 96impbid 191 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   C_ wss 3461   {csn 4014   U.cuni 4234   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   intcnt 19391   neicnei 19471   CnP ccnp 19599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7424  df-top 19272  df-topon 19275  df-ntr 19394  df-nei 19472  df-cnp 19602
This theorem is referenced by:  cnnei  19656
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